Veränderung Intervall bei einem bestimmten Integral

Aufrufe: 95     Aktiv: 07.03.2024 um 16:16

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Ich habe bei der folgenden Aufgabe Schwierigkeiten die Lösung nachzuvollziehen (Antwort 1 ist korrekt).
Ich habe mit Hilfe von Substitution die Stammfunktion berechnet, jedoch ist mit nicht klar, warum die Grenzen des Intervalls verändert werden müssen.

Hier meine Vorangehensweise:
gefragt

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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Die Erklärung macht für mich Sinn. Und ich bin nun auf das korrekte Resultat gekommen. Folgendes ich mir jedoch noch nicht klar:

Meine Stammfunktion [ F(u) = 2/3 * u^(3/2) + c ] habe ich nicht mehr resubstituiert und bin durch das Einsetzen der neuen Intervallsgrenzen auf das korrekte Ergebnis gekommen.

Wenn ich jedoch die Stammfunktion wieder umgeschrieben hätte für die x-Variable hätte ich anschliessend die selben Intervallsgrenzen verwendet wie bei der u-variable. Das verstehe ich nicht ganz. Warum verschieben sich die Interfallsgrenzen nicht zurück, wenn man resubstituiert?

Vielen herzlichen Dank im Voraus!
  ─   mourari 07.03.2024 um 15:56

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Nein, lies meinen Satz nochmal. Wenn du resubstituierst musst du wieder die ALTEN Grenzen nehmen.   ─   parsec 07.03.2024 um 16:16
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1 Antwort
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Das liegt daran, dass du jetzt nicht mehr nach $x$ sondern nach $u$ integrierst. Damit müssen sich ja zwangsläufig deine Grenzen verändern, denn die Funktion $u$ ist eine ganz andere als die ursprüngliche. Ein "Schritt" von $u$ entspricht nicht einem "Schritt" von $x$

Du musst also ebenfalls die Grenzen verändern, nämlich indem du die alten Grenzen in deine Substitutionsfunktion einsetzt.

$u(0)=0^2+1=1$
$u(1)=1^2+1=2$

Du kannst alternativ natürlich auch erst das unbestimmte Integral durch Substitution bestimmen, die Rücksubstitution durchführen und dann wieder die alten Grenzen einsetzen, weil du dann ja wieder nach dem ursprünglichen $x$ integrierst. Dauert aber deutlich länger.

In deiner Lösung hast du dich außerdem noch in deiner Stammfunktion vertan. Du hast nicht integriert sondern abgeleitet.
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