Also ich komme auf etwas anderes.

Am einfachsten wäre es du setzt die gedanktlich ein Koordinatensystem mit dem Ursprung genau in die Mitte des Kreises (also auch in die Mitte der Grundfläche). Dann wählt man \(x\) als Parameter, so dass die Grundseite der quadratischen Grundfläche \(2\cdot x\) ist. (Also legt \(x\) die Grundseite nach links und rechts fest.) Dann ist der Rest der vom Radius übrig bleibt \(r-x\) (der Rest der auf der \(x\)-Achse noch zum vollständigen Radius fehlt, also gerade die Seitenkante einer Seitenfläche). Am besten dazu mal eine Skizze anfertigen!

Für die Grundfläche ergibt sich dann \(A_G=(2x)^2=4x^2\).

Die Höhe der Pyramide muss erst noch über den Satz des Pythagoras ermittelt werden. (Eine Skizze der Pyramide im Querschnitt wäre hilfreich, dann wird nämlich deutlich das \(r-x\) die Länge der Seitenkante ist und \(x\) die Hälfte der Grundseite, welche gerade die Länge der einen Kathete im rechtwinkligen Dreieck entspricht.) Dabei gilt \(h^2+x^2=(r-x)^2 \quad \Leftrightarrow \quad h=\sqrt{(r-x)^2-x^2}=\sqrt{r^2-2rx}\)

Setzt du dies nun in deine Volumenformel für die Pyramide ein erhälst du:

\(V(x)=\dfrac{1}{3} \cdot A_G \cdot h=\dfrac{1}{3} \cdot 4x^2 \cdot \sqrt{r^2-2rx}\)

Dies ist deine Funktion, welche du auf ein Maximum untersuchen musst. Dein Ergebnis für \(x\) wird wie gewollt von \(r\) abhängen.

Für den Oberflächeninhalt überlegst du dir nun wegen \(A_O=A_G+4\cdot A_S\) wie man die Seitenfläche bestimmen kann. Am einfachsten über die Flächenformel für allgemeine Dreiecke \(A=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h\) mit \(g=2x\) und \(h=\sqrt{r^2-2rx}\). Dann bildest du also die Formel für \(A_O\), setzt deine Lösung für \(x\) ein und fasst zusammen.

Du kannst deine Ergebnisse immer gerne posten, dann können wir das abgleichen.

Hoffe das hilft dir weiter.