Beweis explizite Bildungsvorschrift arithmetischer Zahlenfolgen

Aufrufe: 310     Aktiv: 26.10.2021 um 14:47
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Ich soll beweisen, dass die Formel ∀ n ∈ ℕ (n ≥ 1): an = a1 + (n-1) • d zur Berechnung der Glieder einer arithmetischen Zahlenfolge stimmt. Ich hätte das mit der vollständigen Induktion bewiesen. Den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung habe ich. Ich habe aber jetzt Probleme bei der Induktionsbehauptung. Die Formel soll hier nun für n+1 gelten. Wenn ich n+1 in die Formel einsetze, habe ich an+1 = a1 + (n-1 + 1) • d = a1 + n * d

Hier komme ich nicht mehr weiter, was muss ich jetzt einsetzen/verändern?
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Du musst eigentlich genauso weitermachen wie immer bei der vollständigen Induktion. Du musst nun die Induktionsvoraussetzung nehmen und damit zeigen, dass es auch für (n+1) gilt. Fang am besten mit der linken Seite an und zeig mit Hilfe der IV, dass die rechte Seite rauskommt.
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Danke! Aber wenn ich mit der linken Seite anfange, habe ich ja erstmal an+1 dort stehen. Muss ich das jetzt schon einmal aufteilen, damit ich die IV, also an = a1 + (n-1) • d dort einsetzen kann. Aber lässt sich an+1 überhaupt aufteilen?   ─   usera70f42 26.10.2021 um 12:51
Du weißt doch, wie eine arithmetische Zahlenfolge definiert ist. \(a_n = a_{n-1} + d\). Damit kannst du \(a_{n+1}\) umschreiben.   ─   lernspass 26.10.2021 um 12:56
Du hast doch den Induktionsschluss mit \(a_{n+1}=a_1+n\cdot d\) bewiesen!?!?   ─   gerdware 26.10.2021 um 14:24
@gerdware Für den Beweis der vollständigen Induktion muss man beim Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung nutzen. Wo ist das hier passiert? Sehe kein \(a_n\)   ─   lernspass 26.10.2021 um 14:44
@usera70f42 Fang so an, schreib \(a_{n+1}\) um, indem du die Definition der arithmetischen Zahlenfolge nutzt. Dann hast du einen Ausdruck, der \(a_n\) enthält und darauf kannst du die IV anwenden.   ─   lernspass 26.10.2021 um 14:47

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