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Die Definition ist tatsächlich etwas ungünstig. Gemeint ist damit folgendes: Du betrachtest alle Folgen \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) aus \( A \) und schaust dir jeweils das \(n\)-te Folgenglied \( a_n \) an. \( b_n \) ist dann das Supremum all dieser \( a_n \).
Wenn beispielsweise \( A = \{ (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}, (\frac{1}{n^2})_{n \in \mathbb{N}}, (\frac{1}{2^n})_{n \in \mathbb{N}}, (\frac{n}{n+1})_{n \in \mathbb{N}} \} \) ist, dann sind die \(n\)-ten Folgenglieder ja gerade von der Form \( \frac{1}{n} \), \( \frac{1}{n^2} \), \( \frac{1}{2^n} \) oder \( \frac{n}{n+1} \). Wir erhalten also \( b_n = \sup\{ \frac{1}{n} \), \( \frac{1}{n^2} \), \( \frac{1}{2^n}, \frac{n}{n+1} \} \). Konkret wären also \( b_1 = \sup\{ \frac{1}{1} \), \( \frac{1}{1^2} \), \( \frac{1}{2^1}, \frac{1}{1+1} \} = 1 \) und \( b_2 = \sup\{ \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2^2} \), \( \frac{1}{2^2}, \frac{2}{2+1} \} = \frac{2}{3} \).
Wenn beispielsweise \( A = \{ (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}, (\frac{1}{n^2})_{n \in \mathbb{N}}, (\frac{1}{2^n})_{n \in \mathbb{N}}, (\frac{n}{n+1})_{n \in \mathbb{N}} \} \) ist, dann sind die \(n\)-ten Folgenglieder ja gerade von der Form \( \frac{1}{n} \), \( \frac{1}{n^2} \), \( \frac{1}{2^n} \) oder \( \frac{n}{n+1} \). Wir erhalten also \( b_n = \sup\{ \frac{1}{n} \), \( \frac{1}{n^2} \), \( \frac{1}{2^n}, \frac{n}{n+1} \} \). Konkret wären also \( b_1 = \sup\{ \frac{1}{1} \), \( \frac{1}{1^2} \), \( \frac{1}{2^1}, \frac{1}{1+1} \} = 1 \) und \( b_2 = \sup\{ \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2^2} \), \( \frac{1}{2^2}, \frac{2}{2+1} \} = \frac{2}{3} \).
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Ich verstehe leider dein Gegenbeispiel nicht. Das A besteht ja aus Folgen (a_n). Wie sollen diese Folgen jetzt aussehen?
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19.11.2021 um 16:58
Ja war auch unnötig kompliziert.
Ginge denn an für alle n>0 gilt 1/n ist und an für n=0 gilt 1,
somit wäre sup von an = 1 --> lim bn=1
und lim an wäre eine Nullfolge ─ user27c193 19.11.2021 um 18:12
Ginge denn an für alle n>0 gilt 1/n ist und an für n=0 gilt 1,
somit wäre sup von an = 1 --> lim bn=1
und lim an wäre eine Nullfolge ─ user27c193 19.11.2021 um 18:12
Nein, ich glaube, du hast das noch nicht richtig verstanden. Wenn \( A \) nur eine einzige Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) enthält, dann ist \( b_n = a_n \).
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19.11.2021 um 18:43
Du nimmst alle Folgen aus \( A \) und schaust dir deren \(n\)-te Folgenglieder an. Und das Supremum dieser \(n\)-ten Folgenglieder ist dann \( b_n \).
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19.11.2021 um 18:45
Für \( b_5 \) schaust du dir beispielsweise von allen Folgen aus \( A \) die fünften Folgenglieder an. \( b_5 \) ist dann das Supremum dieser fünften Folgenglieder.
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42
19.11.2021 um 18:47
Du hattest ja auch hier eine ähnliche Frage gestellt
https://www.mathefragen.de/frage/q/c6664295ad/konvergente-folgen/
Wenn du den Beweis dazu verstanden hast, dann kannst du ihn mit der gleichen Idee auf endlich viele Folgen verallgemeinern. Das hat die Konsequenz, dass die Aussage hier für eine endliche Menge \( A \) korrekt ist. Für ein Gegenbeispiel muss \( A \) also unendlich viele Folgen enthalten. ─ 42 19.11.2021 um 18:57
https://www.mathefragen.de/frage/q/c6664295ad/konvergente-folgen/
Wenn du den Beweis dazu verstanden hast, dann kannst du ihn mit der gleichen Idee auf endlich viele Folgen verallgemeinern. Das hat die Konsequenz, dass die Aussage hier für eine endliche Menge \( A \) korrekt ist. Für ein Gegenbeispiel muss \( A \) also unendlich viele Folgen enthalten. ─ 42 19.11.2021 um 18:57
Wäre folgendes als Gegenbeispiel gültig? (an i) = 5 für ni ? so würde bn gegen 5 konvergieren und alle an in A konvergieren gegen 0. ─ user27c193 19.11.2021 um 16:49