Ist egal, wo \(|x|\) steht (im Exponenten oder sonstwo), es geht darum, dass offensichtlich die Fälle \(x<0\) und \(x\ge 0\) getrennt betrachtet werden müssen.

Also  \(F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(u)\,du =\begin{cases} \int\limits_{-\infty}^x f(u)\,du & \text{falls } x<0 \\ \int\limits_{-\infty}^0 f(u)\,du+\int\limits_0^x f(u)\,du & \text{falls } x\ge 0 :\end{cases}\)

und nun sind die Integrale so zerlegt, dass im Integrationsbereich keine 0 liegt. Es kann also der Betrag aufgelöst und einheitlich integriert werden (Def.. des Betrags genau beachten).