Hallo,

zuerst solltest du dir überlegen, was es bedeutet, dass eine Matrix Rang r hat. Kannst du dadurch etwas über lineare Unabhängigkeit sagen? 

Was weißt du dann über Basen und lineare Unabhängigkeit? Stichwort: Erzeugendensystem ;)

Damit solltest du zumindest herausfinden, warum du r viele Vektoren brauchst.

Wenn du dich jetzt fragst, warum gerade die Vektoren e1 bis er funktionieren, dann solltest du mal schauen, welches Wort du dann noch nicht verwendet hast ;)

Ich hoffe dir helfen die Tipps, ansonsten einfach die Lösung makieren, dann kannst du sie lesen :)

Viel Spaß!

Lösung:

Wenn eine Matrix Rang r hat, dann gibt es r linear unabhängige Zeilen bzw. Spalten. Das heißt die Dimension des Raums, der durch diese Vektoren aufgespannt wird (also die Anzahl r) ist eine untere Schranke für die Anzahl deiner Vektoren. 

Da die Matrix in Zeilenstufenform ist, hast du nur in den ersten r Zeilen überhaupt etwas stehen, somit reichen r Vektoren auch aus, um im(A) zu erzeugen.

Außderdem kannst du aufgrund der Zeilenstufenform auch die Vektoren e1 bis er benutzen und nicht beispielsweise e2 bis e(r+1), weil nur in den ersten r Zeilen etwas steht.