Minimaler schräger Abstand zwischen 2 Funktionen

Erste Frage Aufrufe: 25     Aktiv: 04.02.2021 um 17:27

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Hey Leute

wie kann ich den minimalen schrägen Abstand zwischen 2 Funktionen berechnen (also ohne Differenzenfunktion, da diese nur für senkrechte Abstände gilt)
Die Funktionen sind:
g(x)= -0,1x^2 +6,9
f(x)=sqrt(36-x^2)

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Schüler, Punkte: 10

 

Schräger Abstand?   ─   gerdware 04.02.2021 um 16:09

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Im Allgemeinen ist das mit Mitteln der Schulmathematik nicht möglich, da man eine Funktion in zwei Variablen minimieren müsste. Hier geht es aber: \(f\) ist ein Halbkreis, alle Punkte mit nichtnegativer \(y\)-Koordinate, die vom Ursprung Abstand \(6\) haben. Die Gerade, die die kürzeste Strecke von irgendeinem Punkt zu einem Kreis enthält, verläuft immer durch den Kreismittelpunkt, hier der Ursprung. Der Abstand von \((x_0,g(x_0))\) und \(f\) ist also der Abstand von \((x_0,g(x_0))\) und dem Ursprung minus 6. (Da wir hier nur einen Halbkreis haben gilt das nur für die Punkte, für die \(g(x)>0\) ist, aber an einer Skizze kann man leicht sehen, dass das eindeutig der Fall ist). Wir können also einfach den minimalen Abstand von \(g\) zum Ursprung finden. Diesen Abstand kannst du mit Pythagoras finden: \(d(x)=\sqrt{x^2+g(x)^2}\). Kannst du das Minimum davon finden? (Tipp: Da die Wurzel streng monoton steigt, kannst du auch \((d(x))^2\) minimieren, das macht das Ableiten einfacher.)
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