Wahrscheinlichkeit

Erste Frage Aufrufe: 1021     Aktiv: 08.03.2021 um 17:48
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Hi.

Ich habe 780 Kartoffeln geerntet die von 60 Pflanzen stammen, also je 13 pro Pflanze. Von den Kartoffeln habe ich 135 zufällig entnommen. Wie berechne ich von wieviel verschiedenen Pflanzen diese wahrscheinlich bzw.
im Durchschnitt stammen?

Ich dachte mir, man könnte zur Vereinfachung annehmen, dass die Kartoffeln nach der jeweiligen Entnahme "zurückgelegt" werden, sodass bei jeder der 60 Entnahmen die gleichen Verhältnisse vorliegen, weil diese sich eh kaum ändern und die Gesamtzahl so hoch ist.
 
Ich bin über jeden Hinweis dankbar wie man das Problem angeht bzw. in welche Richtung ich mich da weiter informieren sollte um zur Lösung zu gelangen. Z.B.welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt dort vor?

Danke und liebe Grüße

Jay
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Doktorand, Punkte: 10

 
Ich habe noch weiter darüber nachgedacht. Das Problem müsste eigentlich dasselbe sein wie das Sammelbilderproblem (https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sammelbilderproblem), also man möchte 60 verschiedene Sammelbilder (oder hier Kartoffeln von verschiedenen Pflanzen). Mithilfe der Wikipedia Seite komme ich auch darauf, dass im Durchschnitt 281 Kartoffeln entnommen werden müssen, um von jeder Pflanze eine zu haben.

Was mir aber nach wie vor nicht klar ist, ist von wievielen Pflanzen ich Kartoffeln habe, wenn ich eine bestimmte Zahl, also z.B. 135 entnehme.

Ich wäre wirklich sehr dankbar über Hinweise.   ─   jaypeg 07.03.2021 um 14:45
Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, dass ich von jeder Pflanze eine Kartoffel habe, scheint mir die binomiale Verteilung oder die hypergeometrische Verteilung zu passen (abhängig davon ob es mit oder ohne "Zurücklegen" betrachtet wird).

Mit der hypergeometrischen Verteilung und der Annahme, dass ich 60 entnehme und von jeder eine haben möchte, käme ich auf folgendes
\( \frac{{1 \choose 13}\cdot60}{{780 \choose 60}} =2\cdot10^{-88}\)

Für 61 und 62 lässt es sich auch noch gut ausrechnen, indem ich die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten (also von allen eine + von einer bzw. zweien 2 Kartoffeln) addiere. Ab spätestens 65 gibt es aber soviele mögliche Kombinationen die man berücksichtigen muss, dass ich den Überblick verliere.

Mit der binomialen Verteilung sollte es meiner Überlegung nach so aussehen:
\( \frac{60}{60}\cdot \frac{59}{60} \cdot \frac{58}{60} ... \cdot \frac{1}{60} =1,7\cdot10^{-25}\)

Hier wüsste ich aber auch gar nicht wie ich mit mehr als 60 vorgehe.


Beides hat mich aber auch leider noch nicht weiter gebracht bei der Frage: Von wievielen verschiedenen Pflanzen habe ich im Durchschnitt Kartoffeln, wenn ich z.B. 60 ziehe. Ist das dann auch eine binomiale oder hypergeometrische Verteilung? Oder was anderes?   ─   jaypeg 08.03.2021 um 15:49
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1 Antwort
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Hallo, ich gehe mal wie bei einer ähnlichen Aufgabe in unserem Mathebuch vor :)
Hierbei ging man von der Binominalverteilung aus. Von wie vielen Pflanzen dann im Durschnitt die Kartoffeln stammen ist der Erwartungswert, also n*p.
n sind hier 135, da soviele Kartoffeln entnommen werden. Die Wahrscheinlichkeit einer Kartoffel von einer Pflanze zu stammen wären 60/780, also 1/13. Damit kommen dann für den Erwartungswert 1/13 * 135, also ungefähr 10,38 Pflanzen raus.
Hoffe das hat dir geholfen / ist der richtige Ansatz für die Aufgabe
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Hi. Vielen Dank für deine Antwort.
Leider kommt mir die Zahl sehr niedrig vor, ich hätte vom Bauchgefühl eher was zwischen 40 und 50 erwartet. Ich vermute auch, dass es leider nicht der richtige Ansatz ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kartoffel von einer Pflanze stammt, müsste meiner Meinung nach 1/60 sein, da es ja 60 verschiedene Pflanzen gibt, die jeweils 13 Kartoffeln zum Pool beisteuern. Mit dem Ansatz n*p rechnet man, glaube ich, auch eher aus, wie oft Kartoffeln einer bestimmten Pflanze gezogen werden. Also 10,38 (bei 1/13*135) oder 2,25 bei (1/60*135) von Pflanze X.
Danke trotzdem!!   ─   jaypeg 08.03.2021 um 17:48

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