Ich kann leider nicht ganz nachvollziehen, was du gerechnet hast. Kann es sein, dass ein Teil des Bildes abgeschnitten ist? Unabhängig davon könntest du z.B. so umformen: (Den Doppelbruch aufzulösen und dann mit Erweitern den Nenner rational zu machen, ist der richtige Ansatz) $$\frac1{\sqrt{\frac29}}=\frac1{\frac{\sqrt2}{\sqrt9}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt2}=\frac3{\sqrt2}=\frac3{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

Dein Ansatz stimmt, allerdings hat deine Umformung nach \( \sqrt {\frac{2}{9}} : {\frac{2}{9} } \) (Doppelbruch) einen Fehler.
Du zieht die Wurzel aus 9 um auf \( \frac{\sqrt {2}}{3} : {\frac{2}{9} } \) zu kommen,
löst den Doppelbruch auf: \( \frac {\sqrt{2} *9}{6} \)
und kürzt noch durch 3 \( \frac {\sqrt{2} *3}{2} \)