Kurven, Parameterdarstellung und Bogenlänge

Aufrufe: 194     Aktiv: 13.10.2023 um 19:01

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Hallo, ich habe folgende Fragenstellung:

"Gegeben sei eine Strecke C von Punkt A=(1,1) nach B=(3,-2). Berechnen Sie die Parameterdarstellung der Strecke C, sowie deren Bogenlänge."

Ich habe einen Vektor von Punkt A nach B erstellt (a=(2,-3)), danach den Positionsvektor r erstellt.

r=r(t)=A+ta= (1,1)+t*(2,-3) = (1+2t, 1-3t)

Und für die Bogenlänge folgende Schritte ausgeführt:

ds=|r'(t)|=|√(2^2+3^2)| dt
s(t)=∫ds dt= ∫ |√(2^2+3^2)| dt = √(2^2+3^2)*t

Nachdem ja der Punkt B bei t=1 erreicht wird, ist die lösung auch gleich dem betrag des Vektors a, sprich die Bogenlänge beträgt √(15).
Ist dies so richtig? Ich habe das Gefühl, dass ich irgendwas vergesse oder falsch gemacht habe, da die Punkt auch viel weiter entfernt sein könnten und durch den richtungsvektor immer bei t=1 dort ankommen werden.

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Ja, die Bogenlänge ist hier die Länge des Vektors $\bf a$, also $\sqrt{13}$ (nicht $\sqrt{15}$). Dazu brauchst aber kein Integral, das ist  Schulmathematik (Pythagoras).
Deine Kurve ist richtig, es fehlt aber (häufiger Fehler!) das zugehörige Intervall, also hier $[0,1]$. Das ist wichtig, weil über dieses Intervall integriert wird.
$ds\, dt$ ist falsch. $L=\int ds= \int\limits_0^1 \| r'(t)\|\, dt =...=\sqrt{13}$.
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Vielen Dank!
Oh Gott, jetzt kann ich nicht mal mehr 9+4 rechnen.

das stimmt, würde auch einfach nur mit dem Betrag des Vektors funktionieren. aber ich wollte spezifisch auf Kurven eingehen, da wir in der Praktischen Mathematik Kurven und Felder "bearbeiten".
Sollte ich das Intervall extra angeben oder einfach nur beim Integral?
Und noch eine Frage, wie kann ich auf dieser Seite in einem Textfeld in mathematischer Form schreiben, gibt es da einen speziellen Eingabe-Syntax?
  ─   eldegery 13.10.2023 um 18:38

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Die Angabe des Intervalls gehört direkt zur Angabe von r(t). Wie zu jeder Funktion die Angabe des Defbereichs gehört.
Zur Syntax hier siehe hier: https://media.meta-fragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf


  ─   mikn 13.10.2023 um 18:51

Vielen vielen Dank!   ─   eldegery 13.10.2023 um 19:01

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