Mathematik Olympiade - Frage zur Kontrolle der Lösung

Aufrufe: 423     Aktiv: 27.10.2022 um 20:21

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Hallo,

ich habe einige Mathe-Olympiaden-Aufgaben gelöst und bei einer Aufgabe, der ich mich zugegebenermaßen nicht lange gewidmet habe, war ich mir sehr unsicher über meine Lösung.

Ich würde mich freuen, wenn jemand die folgende Aufgabe lösen könnte, damit ich kontrollieren kann. 

Vielen Dank und freundliche Grüße


Aufgabe: 

Bestimmen Sie sämtliche Winkelgrößen α, für die es möglich ist, ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit |􏰀BACα und |􏰀CBA|􏰀ACBβ mittels einer nicht durch verlaufenden Geraden in zwei gleichschenklige Teildreiecke zu zerlegen. 

(Die Quadrate sollen eigentlich das geometrische Symbol für Winkel sein, meine Tastatur unterstützt das nicht.)

Quelle:
https://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/55/2/A55102.pdf

EDIT vom 26.10.2022 um 20:25:

Hier meine Lösung...

EDIT vom 27.10.2022 um 09:26:

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gefragt

 

Guten Abend, ich glaube hier liegt ein Missverständnis vor - die Aufgaben sind bereits alt und ich löse sie freiwillig, ich will die Aufgaben nicht "für mich gelöst bekommen". Zudem muss es hier eine eindeutige Lösung geben, meiner Auffassung nach. Die Winkelgrößen (bzw. die Existenz der Winkelgrößen) könnte ich ja "vergleichen"... Meine Lösung ist folgende: Es gibt keine Winkelgrößen α, die diese Forderung erfüllen. Ich habe einen Widerspruchsbeweis geführt. Bei meinem Ergebnis bin ich mir allerdings unsicher. Können Sie mir da weiterhelfen?

Vielen Dank für Ihre Antwort und bleiben Sie gesund!
  ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:06
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2 Antworten
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So, nun zu Deinem update. Soweit ich das sehe (alles ohne Gewähr), stimmt das Vorgehen und auch das Ergebnis.
In Fall II.2 sehe ich nicht, woher plötzlich $|AT|=|AB|$ kommt und auch den Rest der Argumentation.
Ich sage auch nur, dass Dein Ergebnis richtig ist, weil ich es mir selbst überlegt habe, was viel schneller ging als durch Deine Argumentation durchzusteigen. Das ist alles bei Dir sehr unübersichtlich. Du arbeitest mit ähnlichen Dreiecken, was gar nicht nötig ist. Man kann (und sollte!) alles nur(!!!) über die Basiswinkel, die Winkelsumme im Dreieck, und dass sich die Winkel bei T zu $180^\circ$ ergänzen, machen. Dabei braucht man über die Längen gar nicht reden (nur für die Einteilung der Fälle).
Beispiel: Fall I: Winkel ABC=Winkel TCB= $\beta$ = Winkel ACB, also T=A, also Teilungsgerade durch A, was unzulässig ist. Fertig.
Generell ist es am besten für den Fall II EIN Bild zu machen, mit eingetragenen Basiswinkeln, was identisch für jeden der Unterfälle wieder verwendet mit Ergänzungen je nach Unterfall. Bei Dir sehen die Bilder teilweise anders aus, plötzlich andere Farben z.B.
Für Fall III analog.
Also: Regeln zurechtlegen (s.o.) und es damit durchziehen. Nicht dauernd andere Regeln verwenden. Und von oben nach unten schreiben. NICHT nebeneinander und untereinander gemischt.
Du siehst übrigens, dass das Ergebnis jetzt ein ganz anderes ist als das aus Deinem ursprünglichen indirekten Beweis. Ordentliches Aufschreiben hilft eben immer (Grundweisheit beim Lösen von Mathe-Aufgaben).
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Ich danke Ihnen vielmals für Ihre Zeit und Mühe. Form ist nie meine Stärke gewesen, das muss ich zugeben, allerdings habe ich noch zwei Fragen:
Gibt es wirklich nur diese beiden Winkelgrößen, für die das gilt?
Könnten Sie nochmal näher beschreiben, wie Sie ohne Ähnlichkeit / LGS in Fall 3.2/ 3.3 vorgehen würden? Das kann ich Ihrer Antwort nicht ganz entnehmen.

Jedenfalls bin ich Ihnen sehr dankbar!
  ─   integrallogarithmus 27.10.2022 um 19:55

In Ordnung, ich war mir nur unsicher, diese Aufgaben haben immer eingebaute Fallen. Ich denke Form ist eine erlernbare Sache, wenn es nötig werden sollte. Ich werde nun mal versuchen mit Ihren Methoden auf das Ergebnis zu kommen.

Vielen Dank und schönen Abend noch!
  ─   integrallogarithmus 27.10.2022 um 20:21

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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wir machen das so, du zeigst deine Lösung hier im Forum und dann wird sich ein Helfer finden, der deine Lösung kommentiert.
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 225

 

Meine Lösung ist folgende:
Es gibt keine Winkelgrößen α, die diese Forderung erfüllen. Ich habe einen Widerspruchsbeweis geführt. Bei meinem Ergebnis bin ich mir allerdings unsicher. Können Sie mir weiterhelfen und das Ergebnis kontrollieren?

Vielen Dank.
  ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:07

Danke, das werde ich, ich muss nur noch ein fotografierfähiges Gerät finden...   ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:17

Eben deswegen brauche ich die Kontrolle...   ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:23

Das Bild ist jetzt eingefügt - mir ist schon klar, dass ein Smartphone genügt, es ist nur schwierig, wenn in der Nähe keins ist...   ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:27

Ja, das ist mir bewusst. Ein Dreieck entsteht nur, wenn die Gerade durch B oder C geht. Aufgrund der Symmetrie gilt meines Erachtens für eine Gerade durch B meine Argumentation analog zu der von C.

Tut mir leid, dass nicht alles formal sehr nachvollziehbar ist, wäre es möglich, dass Sie verifizieren/widerlegen, ob mein Ergebnis, dass es keinen derartigen Winkel gibt, stimmt?
  ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 21:20

Alles klar, danke. Ich werde mich morgen bemühen, etwas Akzeptables zu präsentieren. Schönen Abend noch und danke!   ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 22:42

Guten Morgen. Ich habe jetzt eine ansehbare Lösung hochgeladen. Ehrlicherweise bin ich einen Fall übergangen, ich musste allerdings zweimal LGS lösen. Geht das auch eleganter? Zudem sind die Bilder leider in falscher Reihenfolge.   ─   integrallogarithmus 27.10.2022 um 09:27

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