Mathematik Olympiade - Frage zur Kontrolle der Lösung

Aufrufe: 201     Aktiv: 27.10.2022 um 20:21

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Hallo,

ich habe einige Mathe-Olympiaden-Aufgaben gelöst und bei einer Aufgabe, der ich mich zugegebenermaßen nicht lange gewidmet habe, war ich mir sehr unsicher über meine Lösung.

Ich würde mich freuen, wenn jemand die folgende Aufgabe lösen könnte, damit ich kontrollieren kann. 

Vielen Dank und freundliche Grüße


Aufgabe: 

Bestimmen Sie sämtliche Winkelgrößen α, für die es möglich ist, ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit |􏰀BACα und |􏰀CBA|􏰀ACBβ mittels einer nicht durch verlaufenden Geraden in zwei gleichschenklige Teildreiecke zu zerlegen. 

(Die Quadrate sollen eigentlich das geometrische Symbol für Winkel sein, meine Tastatur unterstützt das nicht.)

Quelle:
https://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/55/2/A55102.pdf

EDIT vom 26.10.2022 um 20:25:

Hier meine Lösung...

EDIT vom 27.10.2022 um 09:26:

P
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gefragt

 

Da unterlaufen Dir gleich zwei Irrtümer. 1. Dass wir hier Aufgaben für Dich lösen, 2. Dass Du mit irgendeiner Lösung Deine eigene kontrollieren kannst.
Es gibt immer mehrere Lösungen und auch Wege Lösungen aufzuschreiben. Lade Deine hoch, dann können wir die kontrollieren und ggf. Tipps für Verbesserungen liefern.
  ─   mikn 26.10.2022 um 16:57

Guten Abend, ich glaube hier liegt ein Missverständnis vor - die Aufgaben sind bereits alt und ich löse sie freiwillig, ich will die Aufgaben nicht "für mich gelöst bekommen". Zudem muss es hier eine eindeutige Lösung geben, meiner Auffassung nach. Die Winkelgrößen (bzw. die Existenz der Winkelgrößen) könnte ich ja "vergleichen"... Meine Lösung ist folgende: Es gibt keine Winkelgrößen α, die diese Forderung erfüllen. Ich habe einen Widerspruchsbeweis geführt. Bei meinem Ergebnis bin ich mir allerdings unsicher. Können Sie mir da weiterhelfen?

Vielen Dank für Ihre Antwort und bleiben Sie gesund!
  ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:06

Es gibt ganz selten eindeutige Lösungen. Lade also Deine Lösung hier hoch (am besten als Foto). Was hindert Dich daran? Du bist dran, also los.   ─   mikn 26.10.2022 um 20:08
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2 Antworten
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So, nun zu Deinem update. Soweit ich das sehe (alles ohne Gewähr), stimmt das Vorgehen und auch das Ergebnis.
In Fall II.2 sehe ich nicht, woher plötzlich $|AT|=|AB|$ kommt und auch den Rest der Argumentation.
Ich sage auch nur, dass Dein Ergebnis richtig ist, weil ich es mir selbst überlegt habe, was viel schneller ging als durch Deine Argumentation durchzusteigen. Das ist alles bei Dir sehr unübersichtlich. Du arbeitest mit ähnlichen Dreiecken, was gar nicht nötig ist. Man kann (und sollte!) alles nur(!!!) über die Basiswinkel, die Winkelsumme im Dreieck, und dass sich die Winkel bei T zu $180^\circ$ ergänzen, machen. Dabei braucht man über die Längen gar nicht reden (nur für die Einteilung der Fälle).
Beispiel: Fall I: Winkel ABC=Winkel TCB= $\beta$ = Winkel ACB, also T=A, also Teilungsgerade durch A, was unzulässig ist. Fertig.
Generell ist es am besten für den Fall II EIN Bild zu machen, mit eingetragenen Basiswinkeln, was identisch für jeden der Unterfälle wieder verwendet mit Ergänzungen je nach Unterfall. Bei Dir sehen die Bilder teilweise anders aus, plötzlich andere Farben z.B.
Für Fall III analog.
Also: Regeln zurechtlegen (s.o.) und es damit durchziehen. Nicht dauernd andere Regeln verwenden. Und von oben nach unten schreiben. NICHT nebeneinander und untereinander gemischt.
Du siehst übrigens, dass das Ergebnis jetzt ein ganz anderes ist als das aus Deinem ursprünglichen indirekten Beweis. Ordentliches Aufschreiben hilft eben immer (Grundweisheit beim Lösen von Mathe-Aufgaben).
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Lehrer/Professor, Punkte: 31.5K

 

Ich danke Ihnen vielmals für Ihre Zeit und Mühe. Form ist nie meine Stärke gewesen, das muss ich zugeben, allerdings habe ich noch zwei Fragen:
Gibt es wirklich nur diese beiden Winkelgrößen, für die das gilt?
Könnten Sie nochmal näher beschreiben, wie Sie ohne Ähnlichkeit / LGS in Fall 3.2/ 3.3 vorgehen würden? Das kann ich Ihrer Antwort nicht ganz entnehmen.

Jedenfalls bin ich Ihnen sehr dankbar!
  ─   integrallogarithmus 27.10.2022 um 19:55

"Gibt es...": Ich hab doch gesagt, dass das Ergebnis aus meiner Sicht richtig ist.
"...ohne Ähnlichkeit..." Hab doch gesagt wie man vorgehen kann, mit welchen Methoden, probier das mal selbst aus.
Wenn Form nicht Deine Stärke ist, wirst Du Probleme im Mathe-Studium kriegen, sollte das Dein beabsichtigter weiterer Weg nach der Schule sein.
  ─   mikn 27.10.2022 um 20:06

In Ordnung, ich war mir nur unsicher, diese Aufgaben haben immer eingebaute Fallen. Ich denke Form ist eine erlernbare Sache, wenn es nötig werden sollte. Ich werde nun mal versuchen mit Ihren Methoden auf das Ergebnis zu kommen.

Vielen Dank und schönen Abend noch!
  ─   integrallogarithmus 27.10.2022 um 20:21

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wir machen das so, du zeigst deine Lösung hier im Forum und dann wird sich ein Helfer finden, der deine Lösung kommentiert.
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 135

 

Meine Lösung ist folgende:
Es gibt keine Winkelgrößen α, die diese Forderung erfüllen. Ich habe einen Widerspruchsbeweis geführt. Bei meinem Ergebnis bin ich mir allerdings unsicher. Können Sie mir weiterhelfen und das Ergebnis kontrollieren?

Vielen Dank.
  ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:07

Ja, lade Dein Ergebnis doch hoch, dann können wir das gerne kontrollieren.   ─   mikn 26.10.2022 um 20:11

Danke, das werde ich, ich muss nur noch ein fotografierfähiges Gerät finden...   ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:17

smartphone tut's. Übrigens fände ich es merkwürdig, wenn die Lösung wäre, dass es gar keine solche Winkel gäbe. Dann wäre die Aufgabe vermutlich anders formuliert. Wenn es keine gibt, kann man prinzipiell einen Widerspruchsbeweis versuchen.   ─   mikn 26.10.2022 um 20:18

Eben deswegen brauche ich die Kontrolle...   ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:23

Das Bild ist jetzt eingefügt - mir ist schon klar, dass ein Smartphone genügt, es ist nur schwierig, wenn in der Nähe keins ist...   ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 20:27

Die Regeln sagen ja: "...logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen....". Erkenne ich hier nicht. Ich glaub nicht, dass Du damit durchkommst. Es ist auch nicht zu erkennen, dass es ein indirekter Beweis sein soll und was die Annahme ist.
Außerdem scheinst Du davon auszugehen, dass die Teilungsgerade durch C läuft. Das ist erstmal nicht klar, dazu hast Du auch nichts gesagt.
Also, ein akzeptabler Beweis ist das schonmal nicht. Vielleicht sind richtige Ideen drin (hab noch nicht genau gelesen, weil es mühselig ist), aber das reicht nicht.
Zu einem Beweis gehört VIEL mehr erklärender Text.
  ─   mikn 26.10.2022 um 21:14

Ja, das ist mir bewusst. Ein Dreieck entsteht nur, wenn die Gerade durch B oder C geht. Aufgrund der Symmetrie gilt meines Erachtens für eine Gerade durch B meine Argumentation analog zu der von C.

Tut mir leid, dass nicht alles formal sehr nachvollziehbar ist, wäre es möglich, dass Sie verifizieren/widerlegen, ob mein Ergebnis, dass es keinen derartigen Winkel gibt, stimmt?
  ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 21:20

Wenn Du eine schnelle klare Antwort möchtest, überarbeite Deinen Beweis nach meinen obigen Hinweisen (sind ja teilweise die zur Mathe-Olympiade). Und Deine Ergänzung oben "Dreieck entsteht auch nur.... meines Erachtens...." ist auch kein Beweis. Du machst es einem sehr schwer Dir zu helfen, indem Du es nicht sorgfältig aufschreibst und wir sollen uns da eben selbst durchwurschteln. Spaß macht das Helfen so nicht.   ─   mikn 26.10.2022 um 21:23

Nur als Beispiel: Ich sehe nicht, dass im Fall I.1 $\alpha=\beta=60^\circ$ folgt. Im Gegenteil folgt das sicher nicht. Und wenn es so wäre, wieso sollte das ein Widerspruch sein?
Also, ich möchte da gar nicht weiter einsteigen in diese Version. Schreib es nochmal neu, geordnet mit viel Text (Hinweis auf Aufgabenblatt beachten!) auf. Das ist auch keine Schikane, sondern wird Dir selbst helfen Deine Gedanken zu ordnen.
Mit einer neuen Beweisversion steige ich gerne nochmal ein.
  ─   mikn 26.10.2022 um 21:31

Alles klar, danke. Ich werde mich morgen bemühen, etwas Akzeptables zu präsentieren. Schönen Abend noch und danke!   ─   integrallogarithmus 26.10.2022 um 22:42

Danke, Dir auch.   ─   mikn 26.10.2022 um 22:43

Guten Morgen. Ich habe jetzt eine ansehbare Lösung hochgeladen. Ehrlicherweise bin ich einen Fall übergangen, ich musste allerdings zweimal LGS lösen. Geht das auch eleganter? Zudem sind die Bilder leider in falscher Reihenfolge.   ─   integrallogarithmus 27.10.2022 um 09:27

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Das ist schonmal eine deutliche Verbesserung.
Noch besser wäre es, wenn Du von oben nach unten schreiben würdest, und nicht kreuz und quer.
Ich komme heute erst später dazu mich damit zu befassen. Gibt vielleicht bis dahin auch andere Helfer.
  ─   mikn 27.10.2022 um 09:33

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