Von der Cholesky Zerlegung zur LR-Zerlegung

Aufrufe: 48     Aktiv: 16.11.2021 um 01:35

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Guten Abend,
 
ich habe bei einer Matrix die Cholesky Zerlegung bestimmt und möchte nun mit Hilfe dieser die LR Zerlegung bestimmen.
 
Ich weiß das $A=LR=LDL^T=LD^{1/2}D^{1/2}L^T=LD^{1/2}(LD^{1/2})^T=\tilde{L} \tilde{L}^T$ gilt wobei $\tilde{L} \tilde{L}^T$ die Cholesky Zerlegung ist. 
 
Es gilt $\tilde{L}=LD^{1/2}$ also entsprechend $L=\tilde{L}(D^{1/2})^{-1}$
 
Meine Frage ist nur, wie ich auf das D kommen soll?
 
Vielleicht könnt ihr mir weiter helfen.
 
Liebe Grüße
 

EDIT vom 15.11.2021 um 23:34:

Ich schreibe mal auf was ich bis jetzt habe: 

die Matrix A

$\begin{pmatrix} 16 & 4 & 4 & 0 \\ 4 & 5 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 6 \\ \end{pmatrix}$

Und die Cholesky Zerlegung entsprechend 

$ \tilde{L}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}$

mit $A= \tilde{L} \tilde{L}^T$

Gesucht ist nun ein linke nomierte untere Dreiecksmatrix L und eine rechte obere Dreiecksmatrix R so dass

A=LR

Um diese beiden Matrizen zu bestimmen soll ich $\tilde{L}$ benutze. 

Hätte $\tilde{L}$ nur einsen auf der Hauptdiagonalen, so wäre ich fertig mit der Diagnonalmatrix D=\begin{pmatrix} 0,25 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5& 0 & 0 \\  0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,5 \\ \end{pmatrix}$ kann ich $\tilde{L}$ multiplizieren und habe Einsen auf der Hauptdiagonalen.

 

Also $DA=D\tilde{L}\tilde{L}^T $

wobei $D\tilde{L}$ dann L wäre und $\tilde{L}^T$ R wäre. Dann habe ich aber die LR Zerlegung von DA und nicht von A. Hier komme ich nicht weiter. 

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Zunächst mal bitte geordnet vorgehen: Was ist gegeben, was ist gesucht?
In der ersten Zeile steht ein Gemisch von dem, was man schon hat, und dem, was erst noch sein soll. Vermute ich.

Wenn Du $A=R^TR$ mit einer rechts-oberen Dreiecksmatrix $R$ hast, muss man, um von $R^T$ auf $L$ zu kommen, die Diagonalelemente zu 1 machen. Das geschieht durch Multiplikation mit einer geeigneten Diagonalmatrix. Die findest Du sicher selbst (notfalls an Beispielen startend).
Aber wie gesagt: VOR allem anderen bitte sauber "gegeben/gesucht" notieren, mit entsprechenden Eigenschaften der Matrizen.
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Danke dir. Ich habe meine Frage bearbeitet und ergänzt. Vielleicht ist es jetzt etwas geordneter und du kannst so besser helfen.   ─   walterfrosch 15.11.2021 um 23:35

Das geordnete soll Dir selbst vor allem helfen. Und sehe ich das richtig, es geht um eine konkrete Matrix? Nicht um eine allgemeine Herleitung?
Natürlich muss auf der linken Seite A alleine bleiben.
Du selbst hast oben geschrieben: "Ich weiß, dass..... " und dann kommt ein Trick mit einem D. Wenn Du also diesen Trick kennst, dann sollte das weitere nicht so schwierig sein.
  ─   mikn 15.11.2021 um 23:57

Danke. hat auf jeden Fall geholfen. Hab's jetzt.   ─   walterfrosch 16.11.2021 um 01:35

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