Ungleichung mit Betrag

Aufrufe: 97     Aktiv: 23.05.2021 um 20:57

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Hallo zusammen!

Ich bin gerade dabei eine Aufgabe zur Reihenkonvergenz zu lösen und bin an einer Stelle angelangt, an der ich eine Ungleichung mit Betrag lösen muss.

Die Ungleichung: \(6,25 < x^{2} + 2 * |2,5 - x| - 15,25 < 24,25\) für alle \(x\) aus \(R\) (reelle Zahlen).

Ich habe bereits die beiden Fälle \(|2,5 - x|\ge 0\) und \(|2,5 - x| \le 0\) einzeln betrachtet.

Für \(x_{1} = -0,5\) und \(x_{2} = 2,5\) ist der Term innerhalb der Ungleichung gleich \(6,25\), für \(x_{3} = -3,5\) ist die Ungleichung gleich \(24,25\). Somit habe ich ja "Randpunkte" verschiedener Intervalle.

Meine Frage ist nun: wie muss ich weiter vorgehen um die Intervalle für \(x\) zu finden, für die diese Ungleichung gilt?
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Student, Punkte: 14

 

Wie bist Du auf diese Ungleichung gekommen? Evtl gibt es schon vorher einen einfacheren Weg.   ─   mikn 22.05.2021 um 20:14

Die Ungleichung war zu beginn \(-1 < \frac {x^{2} + 2 * |2,5 - x| - 15,25} {9} < 1\). Durch einfaches Umformen kommt man dann auf die Ungleichung, die ich in miener Frage geschrieben habe. Ich habe einfach mal 9 und +15,25 gerechnet.   ─   jlkkm17 23.05.2021 um 10:30

Naja, wenn man +15.25 rechnet, dann geht aber die -15.25 in der Mitte weg.
Ich meine aber noch davor: Um welche Reihe geht es?
  ─   mikn 23.05.2021 um 12:19

Die Reihe:

\( \sum_{k=1}^n (-1)^k * (k)^{4\alpha} * \frac{x^2+2*|2,5-x|-15,25}{9}, \alpha,x eR\)

Danach erstmal Quotientenkriterium. Es bleibt übrig:

\(|(1+\frac{1}{n})^{4\alpha}|*|\frac{x^2+2*|2,5-x|-15,25}{9}|\). Der Term muss \(<1\) sein, damit die Reihe konvergiert (Leibniz).

Nach Leibniz ist die Reihe konvergent, wenn dieser Term eine monoton fallende Nullfolge ist, also wenn beide Beträge \(<1\) sind. Ich betrachte also beide Beträge, und somit auch die Konstanten \(\alpha\) und \(x\) separat. Den Teil mit \(|(1+\frac{1}{n})^{4\alpha}|\) habe ich gepackt. Bleibt also der rechte Teil, und damit die Ungleichung übrig, die ich gepostet habe.
  ─   jlkkm17 23.05.2021 um 13:27

Ups! Ich habe das hoch k im letzten Term vergessen: \( \sum_{k=1}^n(-1)^{k}*(k)^{4\alpha}*(\frac{x^2+2*|2,5-x|-15,25}{9})^{k}\)   ─   jlkkm17 23.05.2021 um 14:51

Ok, hab immer noch das Gefühl, da ist ein Trick....
Und: Du mischt Q-Krit. und L_Krit.. Für L-Krit muss \(k^{4\alpha}\cdot (...)^k\) eine mon. fallende Nullfolge sein. Für Q-Krit hat man wiederum mit Monotonie und Nullfolge nichts zu tun. Richtig ist, dass das Q-Krit auf Deine Ungleichung führt.
  ─   mikn 23.05.2021 um 15:10

Mir fällt auch nichts anderes ein als was monimust unten vorschlägt. Es ist ein Dickicht von Fallunterscheidungen und Ungleichungen. Hab es mit wolframalpha gerechnet und das Ergebnis ist \(L=(-3.5,-0.5) \cup (2.5,4.5)\).   ─   mikn 23.05.2021 um 17:35

Ok vielen Dank! Genau das war auch das was ich mir dachte. Danke!!
  ─   jlkkm17 23.05.2021 um 19:06

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1 Antwort
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Würde so vorgehen

mal 9,
dann mit Fallunterscheidung den Betrag auflösen
die beiden Seiten getrennt rechnen
jeweils auf Null bringen und die Nullstellen  der Parabel berechnen
abgleichen mit Ungleichung und Voraussetzung
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Genau das habe ich gemacht für die Fälle \(|2,5-x|<0\) und \(|2,5-x|\ge0\). Nullstellen der beiden Parabeln sind dann \(-3,5\) und \(-0,5\) für \(|2,5-x|<0\) bzw. \(2,5\) und \(4,5\) für \(|2,5-x|\ge0\). Wenn ich diese Zahlen für \(x\) in \(|\frac{x^2+2*|2,5-x|-15,25}{9}|\) einsetze, erhält man \(1\). Meine Frage ist ja: für welche \(x\) ist \(|\frac{x^2+2*|2,5-x|-15,25}{9}|<1\)? Wie kann ich also die Nullstellen der Parabel nutzen um das herauszufinden? Meine Idee wäre das abgeschlossene Intervall \(I=[-3,5;4,5]\) onhe \({-3,5;-0,5;2,5;4,5}\).   ─   jlkkm17 23.05.2021 um 17:55

Habe jetzt nicht gerechnet, aber wenn du eine nach oben geöffnete Parabel hast, sind die Werte zwischen den Nullstellen negativ, außerhalb positiv (graphisch ist das anschaulich).i   ─   monimust 23.05.2021 um 20:57

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