Gebrochenrationale Funktionen Definition

Aufrufe: 397     Aktiv: 09.03.2023 um 16:58

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hey, folgende frage:
hat eine gebrochenrationale Funktion immer eine Definitionslücke?
bspw. hat ja 2x / (x^2 + 5) keine definitionslücke. Zählt sie dann trotzdem als gebrochenrationale Funktion?
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Eine gebrochen rationale Funktion liegt vor, wenn in miindestens einem Nenner die Variable (x) auftaucht.
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Okay vielen lieben Dank und schönen Abend!
  ─   tmt.nagel 09.03.2023 um 00:14

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Ich muss hier ein wenig einhaken - diese "Definition" ist vielleicht schülergerecht, aber mathematisch sehr ambivalent.   ─   crystalmath 09.03.2023 um 00:21

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wie hier häufig von Mathematikern beantwortete Fragen zeigen, brauchen Schüler ein anderes, für sie verständlicheres Level, um sich abgeholt zu fühlen. Schüler sind keine Studenten, das vergisst hier mancher, der meint, er könne jedermann Hilfe geben.

Die genaue Definition lässt sich ja leicht ergoogeln. Aber entweder das wurde nicht getan oder man hat sie nicht verstanden oder eine andere Frage blieb ungeklärt, das kann nur das Fragy entscheiden.

  ─   honda 09.03.2023 um 09:23

@crystalmath, ich kann honda da nur zustimmen. Wer Erfahrung hat weiß, dass oft sogar richtige aber für das Verständnis gerade nicht nötige, Informationen wie D=R, abschreckend wirken.
Es bleibt dir aber unbenommen, eine bessere Antwort zu formulieren. Auch habe ich nichts dagegen, wenn du hier einen Kommentar mit Inhalt hinterlässt.
  ─   monimust 09.03.2023 um 09:44

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Gerade schlampige Definitionen führen immer wieder zu Verwirrungen und Unverständnis bei den Schülern, eben weil es nicht vernünftig definiert bzw. erklärt wird. Mathematik wirkt dann nicht mehr logisch, sondern vielmehr willkürlich. Das hat auch mit schülergerecht wenig zu tun. Warum nimmt man den Schülern denn die Möglichkeit, Mathematik gleich von Anfang an richtig zu verstehen? Pädagogisch ist das überhaupt nicht sinnvoll. Es mag sein, dass man nicht so weit wie im Studium ausholen muss, aber die Erfahrung zeigt immer wieder, dass Schüler nicht einmal Standardnotationen wie $x\in\mathbb{R}$ verstehen (was in fast jedem Abitur drinsteht), weil sowas nicht erklärt wird.

@crystalmath: Kritische Kommentare sind gut, man sollte dann aber ruhig ausführen, wie man es besser machen kann, also gleich die Verbesserung mitliefern.
  ─   cauchy 09.03.2023 um 10:36

@cauchy, recht hast du, wenn es sich um Schüler handelt, die später ein mathelastiges Studium anstreben. Bei der Mehrheit erkennt man aber, dass die mit deinen Ansprüchen überfordert wären und sie auch gar nicht erfüllen müssen (die brauchen ja nur ihr Abi). Drückt man denen nun "Definitionen" auf, die anschließend dann doch wieder erklärt werden müssen (falls überhaupt eine Rückmeldung kommt), ist der Sinn eines Hilfeforums auch nicht erfüllt. Wenn man nicht nur Nachhilfeschüler hat, die eine Eins anstreben, weiß man das aber.

Aber inhaltlich: Quotient von Polynomen, glaube ich, kann man definieren oder fehlt da was? Was an obiger Antwort könnte zu Verwirrung und Unverständnis führen bzw. in welchem Zusammenhang? Ich erkläre das nämlich meinen Schülern auch so, weil es sich leicht merken und identifizieren lässt, z.B. bei Bruchtermen im Unterschied zu Term mit Brüchen.
  ─   honda 09.03.2023 um 10:56

Daher muss man das immer abwägen, was sinnvoll ist und was nicht. Verallgemeinern sollte man solche Aussagen aber trotzdem nicht. Auch nicht in einem Hilfeforum. Es gab auch schon Fragys, denen das sehr geholfen hat, wenn man da mathematisch genau war.

Diese Definition ist aber gerade nicht korrekt, denn $f(x)=\frac{x}{2}$ ist nicht gebrochenrational, sondern ganzrational. Deine Definition passt ganz allgemein für rationale Funktionen (diese findet man leider auch auf sämtlichen diversen Lernseiten), diese umfassen aber eben auch die ganzrationalen. Daher finde ich das "in mindestens einem Nenner die Variable $x$ auftaucht" gar nicht so falsch, denn das impliziert, dass der Nenner mindestens Grad 1 hat und die ganzrationalen Funktionen ausgenommen sind. Problematisch wird das dann aber bei Funktionen wie $f(x)=\frac{x}{x}$, die man kürzen kann.
  ─   cauchy 09.03.2023 um 11:27

@cauchy Da hier einige relativ "kodexgeil" sind, wollte ich nicht gegen Punkt 7 verstoßen. Die Antwort wurde ja bereits akzeptiert und der Lernzprozess sollte erstmal nicht weiter gestört werden.

@honda Stimme dir zu, dass sich die Definition leicht ergoogeln lässt, aber hier findet man alles - von "elementar und intuitiv" bis hin zu algebraische Geometrie. Einige von diesen Definitionen könnten auch wieder falsch sein, was das ungeschulte Auge dann auch nicht erkennt. Desweiteren hat eine kurze Rechereche ergeben, dass sie auch die Definitionen oft unterscheiden bzw. nocht "refinements", wie "echte rationale Funktion" oder sowas beinhalten. @cauchys Kommentar ist ein sehr gutes Beispiel dafür, da seine Beispiele, je nach Definition die man anwendet, sinnvoll oder nicht sind.

Ich selbst arbeite im akademischen Bereich und auch da nochmal (in der Lehre) fokussiert auf Vorlesungen für fortgeschrittene Studierende, daher vertraue ich einfach mal auf eure Expertise bei Schulfragen. An der Stelle will ich aber auch klarstellen, dass für Studierende die Antwort nicht zulässig wäre.
  ─   crystalmath 09.03.2023 um 11:30

@honda man könnte fällschlicherweise e^x/x auch hier einordnen
@cauchy x€R z.B. wird erklärt nur nicht ernst genommen. Was man Schülern gleich beibringen muss und was nicht (oder noch nicht) ist gerade die Schwierigkeit. Mir wird heutzutage auch zu viel nicht mehr gelehrt, was mancher Schüler, wenn er es später erfährt, bedauert. Grundsätzlich aber von Ungenauigkeiten auf spätere Fehler zu schließen ist auch nicht richtig, ein Balanceakt. Aber Ergänzungen können schließlich kommentiert werden. 🙃
  ─   monimust 09.03.2023 um 11:33

Sorry bin jetzt etwas verwirrt, deswegen hier nochmals:
Wir haben ausschließlich eine gebrochenrationale Funktion, wenn der Nennegrad der Funktion über 0 ist, richtig?

D.h. 2x / 7 ist keine gebrochenrationale Funktion da der Nennergrad gleich null ist (7x^0). Negative Exponenten dürfen wir natürlich auch nicht benutzen (ansonsten haben wir ja im Nenner keine ganzrationale Funktion). (?)

Bei einer Funktion wie x / x haben wir dann halt einen stetig hebbare Definitionslücke.
  ─   tmt.nagel 09.03.2023 um 11:54

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@crystalmath perfekte Einstellung: "Schuster bleib bei deinen Leisten" hieß das früher. Ich kann nur Schüler aber das mit langjähriger Erfahrung. Ob man "eingreift" hängt bei mir eigentlich nicht vom Kodex ab, wenn ich glaube zu merken, dass die Antworten in die falsche Richtung laufen, der Schüler eben kein Student ist und immer verwirrter wird oder frustriert. Lass ich aber zukünftig bei "einige"n.

Mit cauchy hat das aber immer recht gut funktioniert, wenn der bei mir in meinem Sinne Antworten gegeben hat (umgekehrt hat er sich auch nicht beschwert), bei monimust das gleiche, andere haben sich häufig "übergriffig" eingemischt. Ist wohl eher eine Frage der ähnlichen Art und Weise, Hilfe zu geben.
  ─   honda 09.03.2023 um 11:56

@alle: interessante Diskussion. Einerseits bin ich bei cauchy, dass man mathematisch genau bleiben sollte, andererseits (auch aus Erfahrung) hilft es einigen Schülern besser sich etwas so zu merken. Wie monimust sagt ein Balanceakt und ist sicherlich auch individuell vom Schüler abhängig. Ein Beispiel was mir da auch einfällt ist Stetigkeit. Oft hilft den Schülys die Aussage „Eine Funktion ist stetig wenn man beim zeichnen des Graphen den Stift nicht vom Papier absetzt“ Steht bei manchen Lehrbüchern auch als Merksatz (Eselbrücke) am Rand. Bei so einer Aussage streubt sich mir auch alles, weil es ungenauer eigentlich garnicht geht, denn $\frac{1}{x}$ ist zwar über $\mathbb{R}$ nicht stetig aber über seinen Definitionsbereich schon. Und nun erklär das mal einem Schüly wenn es sich diese Eselsbrücke zu Herzen genommen hat. Sicherlich hat solch eine Erklärung dem Verständnis von dem was Stetigkeit ist bei dem ein oder anderen geholfen, aber wenn man so etwas bespricht sollte man im selben Atemzug doch auch mit der genauen Definition kommen und gerade Grenz- oder Spezialfälle besprechen. Also meiner Meinung nach ja das kann helfen, aber man sollte gleichzeitig noch einmal so genau wie möglich sein und wie im Beispiel zur dieser Frage bei gebrochenrationale Funktionen so etwas wie $\frac{x^2}{x}$ besprechen.

@monimust wenn du Ergänzungen kommentierst, warum dann eigentlich eine separate Antwort auf die Frage zum Kommentar meiner Antwort?😜 Aber nicht schlimm, scheint dem Fragy ja auch weitergeholfen zu haben.😅👍
  ─   maqu 09.03.2023 um 12:14

@tmt.nagel
negative Exponenten ist ja eine Schreibweise, kommt darauf an, ob es inhaltlich zur "Definition" passt, also "ein x im Nenner" sinngemäß steht..

die Diskussion ist wohl eher akademisch, heißt, du wirst als Schüler sicher keine Funktionsgleichungen vorgelegt bekommen, wo auf eine vorher festgelegt genaue Definition abgehoben wird. Ansonsten denke ich, kannst du mit deinem Verständnis leben ;)

Aber genau deine Verwirrung ist der Grund, warum ich es nicht für sinnvoll halte, immer mathematisch perfekt und mit allen möglichen Sonderfällen zu antworten, wenn das eigentliche Problem ein ganz anderes ist. Und wenn Schüler / Studenten ihren Status angeben, bekommen sie angepasste Antworten.
  ─   honda 09.03.2023 um 12:24

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@maqu, siehe die (berechtigte) Vorsicht von chrystalmath😉   ─   monimust 09.03.2023 um 12:31

Dachte nicht, dass ich so eine Diskussion lostrete damit. Aber interessant.   ─   crystalmath 09.03.2023 um 15:14

@crystalmath Es wurde für solche Diskussionen auf unseren Wunsch das Forum meta-fragen.de eingerichtet.   ─   mikn 09.03.2023 um 15:22

@mikn Habe nicht erwartet, dass es so eine Welle lostritt.   ─   crystalmath 09.03.2023 um 15:56

@crystalmath kommt auch selten vor, war gerade ein Zusammentreffen (un)glücklicher Umstände jüngster Zeit.   ─   honda 09.03.2023 um 16:58

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Ja dies ist auch eine gebrochenrationale Funktion und ja du hast ein Beispiel dafür gegeben warum nicht immer eine Definitionslücke vorliegt.
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Vielen Dank für so einen schnelle Antwort um die Zeit!
Okay, ist dann auch so etwas wie 3x / 7 eine gebrochenrationale Funktion? Laut meinem Mathelehrer nämlicht nicht...
Liegt dann die Definition (einer gebrochenrationalen Funktion) darin, dass der Nennergrad > 0 sein muss?
  ─   tmt.nagel 08.03.2023 um 23:56

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Die Def. in der Schule ist es anscheinend so, dass der Nennergrad $>0$ sein muss. Es gibt auch andere Definitionen (an der Uni). Achte also auf das, was Dein Lehrer sagt.
Die Diskussion oben war nicht für Dich gedacht, ignorier das einfach. Für solche Diskussionen haben wir Helfer ein anderes Forum, das vergessen nur manche schonmal.
  ─   mikn 09.03.2023 um 12:10

Ok danke   ─   tmt.nagel 09.03.2023 um 12:15

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