Vierergruppe von Klein

Aufrufe: 480     Aktiv: 21.01.2023 um 17:23

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Zeige: Die Vierergruppe von Klein besteht nur aus geraden Permutationen. Wie lautet deren
Darstellung als Produkt von elementfremden Zyklen?

Wir sollen die kleinsche Vieregruppe V_4 als Untergruppe der symm. Gruppe S_4 auffassen und zeigen, dass das Signum jeder einzelnen Permutation in V eins ist. Es geht um die Anzahl der Transpositionen für jedes  der Elemente in V. Die ist eben gerade.

Per Widerspruch könnte man es beweisen. Man kann eine bel. Permutation "v" aus V_4 nehmen und annehmen, dass das Sgn(v)=-1. Wie genau kann ich das aber jetzt zeigen, dass es doch gerade sein muss, also eben ein Widerspruch entsteht?
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Schüler, Punkte: 25

 
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1 Antwort
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Hallo es sind nur vier Elementen, es sollte daher über elementenweise nachrechnen am besten funktionieren, z.B. ist klar, dass \(1\in \ker (C_2\times C_2 \to S_4\to \{1,-1\})\), also bleiben nur noch 3
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Student, Punkte: 10.87K

 

Als was bezeichnest du C_2 genau?   ─   battel101 21.01.2023 um 12:56

Und wie funktioniert das "Nachrechnen" genau. Mich verwirrt das noch ein bisschen.   ─   battel101 21.01.2023 um 12:58

Mit \(C_2\) meine ich cyclische Gruppe der Ordnung 2, oft auch \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). Mit nachrechnen meine ich, du musst für jedes einzelne Element zeigen, dass es gerade ist   ─   mathejean 21.01.2023 um 13:40

Die Gruppenelmente sind: {1,a,b,ab}. Für eins eben trivial, ist ja das neutrale Element. Wie macht man das mit den restlichen Elementen. a vertauscht 2 Mal, b vertauscht 4 Mal und ab 6 Mal. Wie drückt man das mathematisch dann genau aus?   ─   battel101 21.01.2023 um 14:26

Eventuell Sei (A,B,C,D) --->(A,B,C,D) (Diese Permutation ist aus S_4) stellen mein neutrales Element 1 dar. 0 mal vertauscht , also sgn=1. (A,B,C,D)-->(B,A,D,C) stellt a dar. Ebenfalls gerade bzgl der Vertauschung. (A,B,C,D)-->(D,C,B,A) stellt b dar. Gerade. (A,B,C,D)-->(C,D,A,B), ebenfalls gerade.   ─   battel101 21.01.2023 um 15:00

Das Signum einer Permutation ist \((-1)^s\) mit s Anzahl der Vertauschungen, damit hättest du die Aussage bewiesen.   ─   mathejean 21.01.2023 um 15:31

Blöde Frage aber -1^0 (0 Vertauschungen). Also bzgl der Identität, das ist dennoch 1, also gerade.   ─   battel101 21.01.2023 um 16:41

0 ist auch eine gerade Zahl   ─   mathejean 21.01.2023 um 16:43

Eh (:. Ich war nur verwirrt, weil (-1)^0 ist ja -1. Also würde es aussagen ,dass es ungerade ist laut der Definition der Signumfunktion   ─   battel101 21.01.2023 um 16:46

Es ist ja die identische Permutation, es gibt keine Fehlstände. Ist klar   ─   battel101 21.01.2023 um 16:53

(-1)^0=1   ─   mathejean 21.01.2023 um 17:23

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