1. Ableitung Erläuterung zum Rechenweg gesucht

Aufrufe: 56     Aktiv: 08.07.2021 um 14:02

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Hallo Leute,
ich habe eine recht banale Frage, aber es bereitet mir seit Stunden Kopfzerbrechen. Mir fehlt irgendwo ein Gesetz/Regel um es selbstständig herauszubekommen.

Wie komme ich bei der 1. Ableitung folgender Formel von

f(x) = \(\sqrt{1+x^2}\)

auf

f'(x) = \(\frac {x} {\sqrt{1+x^2}}\)

Es wird die Kettenregel angewendet, das leuchtet mir ein. Ich allerdings, ohne in den Lösungen zu schauen, wäre auf
f'(x) = \((1+x^2)^\frac{1}{2} * 2x\)
gekommen.

\(\sqrt{x}\) führt ja eigentlich zu \(x^\frac{-1}{2}\) dachte ich. In dieser Aufgabe wird allerdings \(\frac{x}{2\sqrt{x}}\) verwendet und an der Stelle ist mir überhaupt nicht klar, wie ich darauf komme. Vielleicht kann mir jemand den Rechenweg dazu erläutern.

Vielen Dank!
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Beim Wurzelableiten musst du noch mit \(\frac 1 2\) multiplizieren. Es gilt $$(\sqrt{x})'=(x^{\frac 12})'=\frac 12 x ^{-\frac 12}=\frac 1{2\sqrt{x}}$$und somit $$(\sqrt{1+x^2})'=(1+x^2)'\cdot \frac 1{2\sqrt{1+x^2}}=\frac x {\sqrt{1+x^2}}$$
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Student, Punkte: 4.07K

 

und genau diese Umwandlung zum Ergebnis bekomme ich gedanklich nicht hin \(\frac 12 x ^{-\frac 12}=\frac 1{2\sqrt{x}}\)

Woher kommt jetzt wieder die Wurzel?
  ─   shed317 08.07.2021 um 12:09

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\(x^{-\frac 12}=\frac 1 {x^{\frac 12}}=\frac 1 {\sqrt{x}}\)   ─   mathejean 08.07.2021 um 12:10

Das ist es, was mir gefehlt hat! Ich danke dir vielmals!   ─   shed317 08.07.2021 um 12:34

sorry nochmal, wohin verschwindet eigentlich das vordere \(\frac{1}{2}\) ?   ─   shed317 08.07.2021 um 13:51

Die Ableitung von \(x^2+1\) ist \(2x\) also \(\frac 1 2 \cdot 2 = 1\)   ─   mathejean 08.07.2021 um 14:02

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