Hallo,

bei der Produkregel willst du deine Funktion ja in ein Produkt aus zwei Funktionen umformen. Allerdings ist mit $u(t) = 10k^2t^3$ und $v(t) = e^{-kt^2} + k^2$ das Produkt dann

$$ u(t) \cdot v(t) = 10k^2t^3 \cdot (e^{-kt^2} + k^2) = 10k^2 t^3 \cdot e^{-kt^2} + 10k^2 t^3 \cdot k^2 $$

und das ist ja nicht unsere Funktion. Beachte: Punktrechung stets vor Strichrechnung!! Wir können also das $k^2$ nicht nur an das $e^{-kt^2}$ anhängen. Es hängt an dem ganzen Produkt

Deshalb gehen wir eher so vor. Es gibt die Summenregel beim ableiten. Diese besagt, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten dürfen.

$$ \left( 10k^2t^3 \cdot e^{-kt^2} + k^2 \right)^\prime = \left( 10k^2t^3 \cdot e^{-kt^2} \right)^\prime + \left( k^2 \right)^\prime $$

Und da $k^2$ eine Konstante ist, fällt diese beim ableiten einfach weg und wir müssen nur die Ableitung des Produktes bestimmen.

Grüße Christian