Mathe Uni Fragen Klausur (HILFEEEEE)

Erste Frage Aufrufe: 101     Aktiv: 31.03.2021 um 11:44
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Es sei 𝐵 eine 3 × 3-Matrix mit reellen Einträgen, die einen Gleichgewichtszustand 𝑣1 ≠ 0 besitzt. Es gebe eine Basis von R3 der Form 𝑣1,𝑣2,𝑣3 mitderEigenschaft,dass

𝐵⋅𝑣2 =−0,4⋅𝑣2 𝐵⋅𝑣3 =0,2⋅𝑣3.

Argumentieren Sie ausführlich, dass für jeden Vektor 𝑣 ∈ R3 der Grenzwert lim𝑛→∞ 𝐵𝑛 ⋅ 𝑣 existiert und entweder ein Gleichgewichtszustand oder gleich dem Nullvektor ist.

Vektor Matrix Grenzwert
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2 Antworten
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B ist nach Voraussetzung diagonalisierbar, \(B=T^{-1}DT\), die Matrix D kennt man aus den gegebenen Eigenwerten. Damit lässt sich der Grenzwert ausrechnen. Probier mal und melde Dich bei Problemen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 11.96K
 
Ich verstehe nicht ganz, was genau es heißt das B diagonalisierbar ist.
Und für was genau steht T und DT?
Könnten Sie mir das Ganze vielleicht direkt anhand der Aufgabe erklären?   ─   user3f5ea7 30.03.2021 um 22:11
Schau in deine Unterlagen, wenn da nichts von diagonalisierbar steht, funktioniert meine Lösungsidee für dich nicht. Ne andere habe ich aber nicht.   ─   mikn 30.03.2021 um 22:50
Okay nein bei mir in den Unterlagen steht nichts davon.
Trotzdem danke für die Hilfe :)   ─   user3f5ea7 30.03.2021 um 23:12

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Du kannst den Vektor \( v \) als linearkombination der Basisvektoren schreiben, also \( v = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 \).

Damit kannst du jetzt induktiv zeigen, dass \( B^n v = \lambda_1 v_1 + (-0,4)^n \lambda_2 v_2 + (0,2)^n \lambda_3 v_3 \) ist, und den Grenzwert explizit angeben. Alles Weitere sollte dann hoffentlich kein Problem mehr sein.
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