Hallo,

was genau verstehst du denn nicht? Das Gleichheitszeichen ist ja, weil sich \( x^2 \) und \( x^{-2} \) kompensieren.

Vermutlich meinst du aber eher wie \( c_n \) zu Stande kommt oder?

Deine Summe geht ja erst bei \( n=1 \) los. Deshalb setzen wir den Summanden \( 1 \) einfach als Summanden der Reihe für \( n=0 \). Für \( n=0 \) wird ja auch \( x^n =1 \). Passt also

Nun zu den anderen beiden Unterteilungen:

In deiner Summe 

$$ \sum\limits_{n\geq 1} \left( (-1)^n \left( \ldots \right) x^{2n} \right) $$

haben wir ja schon sowas ähnliches wie eine Potenzreihe. Nur wenn wir \( n=1 \) setzen, haben wir \( x^2 \), wenn wir \( n=2 \) setzen, haben wir \( x^4 \). Also steht dort sowas wie

$$ 1 + a_1 x^2 + a_2 x^4 + \ldots $$

mit \(a_n \) dem Vorfaktor aus deiner obigen Reihe.

Eine Potenzreihe allerdings, hat die Form

$$ \sum\limits_{n=0}^\infty c_n x^n = c_0 x^0 + c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + \ldots $$

Wir haben ja schon \( c_0 x^0 = c_0 = 1 \) gesetzt. Für alle \(x \) mit einer geraden Potenz, können wir die \( a_n \). Wir müssen nur aufpassen. Denn jetzt kommt beispielsweise der Vorfaktor von \( x^2 \) ja erst mit \( n=2 \). Das bedeutet, \( a_1 \neq c_1 \), sondern \( a_1 = c_2 \). Wir haben hier ein unterschiedliches \( n \) das in den Vorfaktor eingesetzt wird. Insgesamt haben wir \( a_n = c_{2n} \). Also müssen wir überall dort wo ein \( n \) im Vorfaktor ist, ein \( \frac n2 \) einsetzen. So kompensieren wir das unterschiedliche \(n \).

Nun fehlen uns nur noch die Vorfaktoren der \( x \) mit ungerader Potenz. In der vorherigen Potenzreihe haben wir keine solcher Potenzen von \( x\). Also setzen wir die Vorfaktoren aller \( c_n \) mit \( n \) ungerade gleich Null. Damit fallen diese weg und wir haben die selbe Potenzreihe wie vorher.

Ich hoffe das ist alles verständlich. Ich habe die ganzen Buchstaben genommen, weil ich keine Lust hatte die Klammer immer abzutippen. Falls es dadurch unverständlich wird, gib gerne bescheid und ich mache mir nochmal die Mühe :)

Grüße Christian