Was ist genau gefragt? Wie geht man vor?

Aufrufe: 786     Aktiv: 08.06.2020 um 22:41
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Hallo Zusammen, 

die Aufgabe lautet:

Sei A eine abgeschlossene und beschrankte Menge. Zeigen Sie, dass A dann kompakt ist.

 

 

Mein Problem: bei einer gegebenen Menge, würde es mir leichter fallen, diesen nach Kompaktivität zu prüfen. Diese Aufgabe ist jedoch sehr allgemein, so dass ich nicht weiß wie ich vorgehen soll.

 

Denkansatz: Satz von Bolzano-Weierstra anwenden, ich habe jedoh Schwirigkeiten bei der Anwendung. 

 

Ich bitte um Hilfe. 

 

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Student, Punkte: 18

 
Ist reines Anwenden von Definitionen. Hatte ihr in der VL beispielsweise etwas typische wie:"
Ist K c X kompakt und ist A c X abgeschlossen mit A c K, so ist A kompakt." Oder die Kompaktheit der Quadermenge?   ─   kallemann 07.06.2020 um 20:28
Wie habt Ihr denn "kompakt" definiert?   ─   digamma 07.06.2020 um 20:29
Kompaktheit:
Die Definition lautet: Eine Menge A ⊆ R heißt kompakt, wenn jede Folge aus A eine
Teilfolge besitzt, die gegen einen Grenzwert aus A konvergiert.

Satz: Eine Menge A ⊆ R ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Beschränktheit:
Eine Menge A ⊂ R heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M > 0 gibtmit|a|≤M für alle a∈A.

   ─   julia_aaa 07.06.2020 um 20:36
vielen Dank für die Antwort. Ich weiss nicht an was ich diesen Satz bzw die Definition ich anwenden soll, da keine menge in der Aufgabenstellung gegeben ist. Mir fehlt der Ansatz leider. Ich finde die Aufgabe sehr allgemein.
Ich würde mich über eine schnelle Rückmeldung sehr freuen.   ─   julia_aaa 07.06.2020 um 21:46
Ich habe dir doch schon den vollständigen Beweis skizziert. Man muss gar nichts weiter machen. Die Menge A ist beschränkt und abgeschlossen. Mehr weiß man nicht, mehr muss man aber auch nicht wissen. Die Beschränktheit braucht man, damit man den Satz von Bolzano-Weierstraß anwenden kann, die Abgeschlossenheit braucht man, damit der Grenzwert der konvergenten Teilfolge in der Menge A liegt, was ja in der Definition von Kompaktheit verlangt wird.   ─   digamma 07.06.2020 um 22:04
Was genau ist mit skizzieren gemeint? Ich sehe hier nur den bisherigen Verlauf mit dem Inhalt.   ─   julia_aaa 07.06.2020 um 22:11
Diese Frage wurde heute bereits beantwortet.
https://mathefragen.de/frage/19716/zeigen-sie-dass-a-dann-kompakt-ist-was-ist-eine-offene-uberdeckung/ (die ergänzenden Erläuterungen sind sicherlich interessant)
digamma hat das Vorgehen hier ja ebenfalls nochmal beschrieben.   ─   smileyface 07.06.2020 um 22:13
"Skizzieren" heißt hier: in Grundzügen beschrieben aber nicht im Detail ausformuliert.   ─   digamma 07.06.2020 um 22:25
Vielen lieben Dank für Ihre Hilfe und Zeitinvestierung! @digamma @smileyface
Dies hilft mir auf jeden Fall weiter. LG
   ─   julia_aaa 08.06.2020 um 08:20
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Und der Satz von Bolzano-Weierstraß lautet: Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Also muss man nur noch zeigen: Wenn die Folge in A liegt, dann liegt auch der Grenzwert der Teilfolge in A. Das ist aber genau die Abgeschlossenheit.
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