Wie werden Näherungswerte genau berechnet?

Aufrufe: 208     Aktiv: 05.10.2021 um 17:17

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0,8+0.1=1

ich möchte ein genauer Rechenweg
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Wie bei deiner anderen Frage https://www.mathefragen.de/frage/q/f0e91aea65/wie-werden-naherungswerte-berechnet/ ist völlig unklar, wie die Aufgabenstellung lautet. Denn 0,8+0,1=0,9!. Deswegen solltest du erst einmal die Aufgabe im Original hochladen, damit für uns überhaupt klar ist, was das Problem ist.   ─   cauchy 03.10.2021 um 18:26

\(0.8 + 0.1 = 0.9 = 1 \; _\square\)

Keine Ahnung was du von uns willst.
  ─   posix 03.10.2021 um 18:27

Beim 0,8 und 0,1 ist oben beim 8 und 1 ein Strich
Und die Aufgabe lautet so:
Begründe warum die Angegebenen Gleichungen wahre Aussagen sind
  ─   esraa21 03.10.2021 um 20:51

Meinst du \( 0.\overline8 \) und \(0.\overline1\)? Das wären periodische Zahlen also 0.88888888888888888 usw. und 0.111111111111 usw.   ─   lernspass 03.10.2021 um 21:09
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Also begründe
$0,\overline 8 +0,\overline1=1$

Der Periodenstrich bedeutet die Zahlen heißen eigentlich 0,888888... und   0,111111111...
mit unendlich vielen Nachkommastellen. Addition ergibt 0,999999...und das ist gleichzusetzen mit 1
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Okay, die Sache mit dem Strich hättest Du gleich sagen können. Wenn Du ihn kommentarlos weglässt, kann keiner wissen, was Du meinst.
Beachte einfach, dass $0.\bar 8=\frac89, 0.\bar 1=\frac19$ und benutze Bruchrechnung.
Und mit Näherungswerten hat das ganze nichts zu tun.
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Wie komme ich auf 8/9 und 1/9 ?   ─   esraa21 04.10.2021 um 11:12

Manche wissen das, ansonsten google mal " periodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln"   ─   monimust 04.10.2021 um 11:18

Indem man 8:9 schriftlich von Hand dividiert (Grundschule?).   ─   mikn 04.10.2021 um 12:35

@mikn, ich glaube er meint, woher man weiß, dass die periodischen Dezimalzahlen diesen Brüchen entsprechen   ─   monimust 04.10.2021 um 12:39

@monimust: Ja, das habe ich doch beantwortet. Wenn man die schriftliche Division ausführt, kommt man doch darauf. 8:9=0, dann 80:9 gibt 8, Rest 8, wieder 80:9 usw.
Wenn Du es umgekehrt meinst, dann muss man sagen, wie Du, weiß man halt, weil man schonmal diese schriftl. Division gerechnet hat.
  ─   mikn 04.10.2021 um 12:40

Ja, ich meinte es umgekehrt. Wäre aber arg arm, wenn man dieses Problem nur als erfahrener Vielrechner lösen könnte. Daher mein Hinweis auf die Umwandlung in Brüche. Dazu muss man aber zunächst gelernt haben, dass der unwichtige Strich nicht der künstlerischen Freiheit des layouters zu verdanken ist.   ─   monimust 04.10.2021 um 13:03

Dazu braucht man kein "erfahrener Vielrechner" zu sein. Das hat man garantiert dann im Unterricht gehabt, wenn der "unwichtige Strich" besprochen und erklärt wird. Das ist ja das erste und einfachste Beispiel zum "Strich". Umwandlung in Brüche ist eine aufwendige Rechnung (geometrische Reihe?), die man nicht oft benötigt.
  ─   mikn 04.10.2021 um 13:10

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Das kenne ich einfacher (ob das jetzt mathematisch bis in alle Einzelheiten korrekt ist, k.A., wie immer,) funktioniert aber
10x= 8,8888 ...davon subtrahiert 1x=0,8888 ... ergibt 9x=8 und damit x=8/9. Bei später einsetzenden Periodizität muss man entsprechen mit Vielfachen von 10 multiplizieren.
Und, das Verfahren kann ich mir merken, nicht aber jedes Divisionsergebnis aus dem Unterricht.
  ─   monimust 04.10.2021 um 13:20

Das geht. Wie geht der Trick dann bei $0.\overline{142857}$?   ─   mikn 04.10.2021 um 13:23

1000000x=142857, 142857142... und dann wieder 1 x abziehen , dann hat man zumindest mal einen Bruch, den man wie bei Brüchen üblich auf Kürzbarkeit prüfen muss,   ─   monimust 04.10.2021 um 13:34

Möge sich der Frager den für ihn einfacheren Weg raussuchen - und merken.   ─   mikn 04.10.2021 um 13:43

Ich verstehe Bahnhof :)   ─   esraa21 04.10.2021 um 14:42

dachte ich mir, mikn hat sich ja auch ein besonders schönes Beispiel ausgesucht, deine Zahlen sind viel einfacher. Weißt du inzwischen wie wichtig der Periodenstrich ist und was er bedeutet?
Hier geht es nur darum, wie man eine solche periodische Dezimalzahl systematisch in einen Bruch umwandeln kann.
  ─   monimust 04.10.2021 um 14:51

@monimust: ich finde es nicht ok, mir das Unverständnis des Fragers in die Schuhe zu schieben. Sollte man nicht erstmal abwarten, was das Problem des Fragers überhaupt ist?   ─   mikn 04.10.2021 um 15:09

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Das war so nicht gemeint, aber richtig ist doch, dass wir hier eine Methode über mehrere Nachrichten diskutieren, die ich logischerweise nicht für einen Anfänger aufbereitet sondern verkürzt dargestellt habe und die dann auch noch in einer deutlich komplizierteren Aufgabe gipfelte (man hätte nur noch mit 13.164897123451234512345... toppen können.) Dass er damit nichts anfangen kann, ist doch klar, das wollte ich ausdrücken.   ─   monimust 04.10.2021 um 15:29

Danke dir Monimust. Jetzt verstehe ich alles. Danke dir vielmals.   ─   esraa21 04.10.2021 um 16:34

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Wenn die Periode direkt mit der ersten Nachkommatelle beginnt, gilt folgendes: $$0,\overline{a_1a_2a_3\dots a_n}=\frac{a_1a_2a_3\dots a_n}{999\dots9}.$$ Man braucht im Nenner also so viele Neunen wie die Länge der Periode ist. Damit kommt man bei $0{,}\overline{142857}$ auf $\frac{142857}{999999}=\frac{1}{7}$. That's it. Dazu braucht man den komplizierten Rechenweg von monimust nicht.   ─   cauchy 04.10.2021 um 17:30

@cauchy: Eben, genauso isses. Aber ich will die Diskussion nicht wieder anfeuern...   ─   mikn 04.10.2021 um 17:40

Hey, " mein" Rechenweg geht schnell, wenn man ihn nicht erklären muss und kommt zum gleichen (ungekürzten) Bruch (bereits gekürzt wär's ein echter Vorteil) UND funktioniert immer. Was, wenn so ne Zahl, wie ich sie im Kommi oben erfunden habe, zur Debatte steht? Gilt dann eine andere Regel, die ich lernen muss?   ─   monimust 04.10.2021 um 17:44

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Deinen Weg muss man aber eben auch erklären. ;)

Falls du $13.164897\overline{12345}$ meinst: $$13.164897\overline{12345}=13.164897 + 0.000000\overline{12345}=\frac{13164897}{1000000}+\frac{12345}{99999000000}$$.

Erklärung: Ich teile die Zahl erstmal auf in nichtperiodischen und periodischen Teil. Den nichtperioden Teil bekomme ich einfach mit Zehnerpotenzen dargestellt. Den periodischen Teil stelle ich nach der Regel oben dar, mit dem Unterschied, dass ich 6 Nullen im Nenner anhängen muss, da die Periode erst ab der 7. Stelle hinterm Komma beginnt. Das Zusammenfassen kann am Ende halt etwas mühsam sein...
  ─   cauchy 04.10.2021 um 17:53

Und das ist jetzt einfacher? Und für Schülernormalverbraucher verständlicher?   ─   monimust 04.10.2021 um 17:57

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Das sagte ich nie. Aber die erste Formel ist es definitiv und die kann man sich auch also Normalschüler merken.   ─   cauchy 04.10.2021 um 18:02

... sagt einer, der (zu Recht) heutige Rechenkenntnisse kritisiert. Und ich bevorzuge Algorithmen die immer funktionieren, so dass man auf Nachfrage nicht Unterscheidungen treffen muss (was wann gilt ist oft noch schwerer zu unterscheiden als, was dann gilt ;)   ─   monimust 04.10.2021 um 18:14

Monimust so wie du erklärt hast, steht auch im Lösungsbuch. Also deine Erklärung finde ich besser.   ─   esraa21 04.10.2021 um 18:41

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@esraa21, die ist nicht unbedingt besser, aber für Schüler leichter verständlich, und darum geht es mir. Freut mich, dass du es gecheckt hast.   ─   monimust 04.10.2021 um 18:47

...und noch etwas Allgemeineres, wo wir schonmal dabei sind:
$13,\overline{42}=\frac{1342-13}{99}=\frac{1329}{99}$
Regel: Alle Stellen minus die Vorkomma-Stellen geteilt durch (Anzahl der Neunen gegeben durch die Anzahl der Periodenstellen)

Damit gilt dann auch $1,\overline{0}= \frac{10-1}{9}=\frac{9}{9}$

Ganz allgemein (wenn es vorne keine führenden Nullen gibt): Komma wegdenken und dann:
$$\frac{\text{(Alle Stellen) minus (alle Stellen ohne Periodenstrich)}}{\underbrace{9\ldots 9}_{\text{a Stück,}}\underbrace{0\ldots 0}_{\text{b Stück}}},$$
wobei $a$ die Anzahl der Stellen unter dem Periodenstrich ist und $b$ die Anzahl der Stellen ohne Periodenstrich.

(ich hoffe, ich habe das jetzt richtig zusammengeschustert...)
  ─   joergwausw 04.10.2021 um 20:32

"wenn man das Verfahren nicht erklären muss" sollte heißen, wenn jemand es beherrscht, geht es ganz schnell und funktioniert immer. Hier kam es vll. Umständlich rüber, weil es erst mal einer Erklärung bedurfte. Die sieht für Schüler dann so aus:
Schreibe die Zahl zweimal untereinander und verschiebe das Komma jeweils so, dass wenn man die Zahlen subtrahiert, alle Nachkommastellen wegfallen. Links schreibt man hin, mit welcher Zehnerpotenz man multiplizieren musste mal x. Subtrahiere beide Gleichungen voneinander und löse nach x auf. Das ist dann der gesuchte Bruch.

10000000000 x = 131648912345,12345...
100000 x= 1316489,1234512345...
__________________________________________________
9999900000 x= 131647595856

x ist damit der Bruch, den joergwausw allgemein gefasst hat.

Formatierung hat sich verschoben natürlich steht alles stellenrichtig untereinander, bin jetzt aber zu faul, das zu richten.

  ─   monimust 05.10.2021 um 10:08

das eine ist die Regel, das andere die Herleitung davon.
Das ist genauso wie bei der pq-Formel. Alle wollen sie anwenden, aber sie vergessen, wie man sie herleitet... und wenn man sie dann nicht auswendig kann...Problem.
  ─   joergwausw 05.10.2021 um 12:13

Trotzdem kann man deine hergeleitete Formel sich am Schluss auswendig merken und sie ist damit eine andere Art, eine Methode anzuwenden. Ich kann ja auch die quadratische Ergänzung am konkreten Beispiel benutzen, wo man dann Zahlen direkt zusammenfassen kann, oder in die pq Formel einsetzen, geht bei manche Konstellationen sogar schneller.
  ─   monimust 05.10.2021 um 12:27

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Was ich eigentlich sagen wollte: Wenn man die Herleitung kennt, dann ist es nicht so schlimm, wenn man die Regel mal vergisst...   ─   joergwausw 05.10.2021 um 12:32

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Man darf aber auch nicht vergessen: Bruchrechnung hat man bereits in der 5. bzw. 6. Klasse, einfache Gleichungen, wie sie hier vorkommen, erst viel später.   ─   cauchy 05.10.2021 um 15:16

Einfachste Gleichungen 6RS halbes Jahr später, nach Dezimalzahlen, (GY und Bayern eher eher.) Weiß aber gar nicht, wann ich das gelernt habe oder ob man damals Bruchrechnen auch in Kl 6 gelernt hat. Vermutlich lernt man es heute gar nicht mehr, weil es nirgendwo in den zusammengestückelten Stoffplan passt.   ─   monimust 05.10.2021 um 15:40

Im letzten Durchgang habe ich einfachste Gleichungen in Klasse 5 angefangen (nein, stand nicht im Lehrplan) - hat in Kl. 7 und 8 gefruchtet (beim Kollegen).
Ich hab's in der 6 gelernt. Mein Mathe-Lehrer kannte nur die einfache Form, die kam im Buch vor (habe ich gerade nachgeguckt). Eine Mitschülerin kam mit der allgemeineren Form an... er hat den Ansatz mitgenommen und dann in der nächsten Stunde bestätigt...
  ─   joergwausw 05.10.2021 um 16:56

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Wenn du Zweifel hast, dass \(0,\overline9=1\) ist, überlege, ob du eine reelle Zahl \(r\) angeben kannst, für die \(\overline9<r<1\) gilt
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