Potenzfunktion "erstellen"

Aufrufe: 59     Aktiv: 08.04.2021 um 15:08

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Hallo, 

ist die Funktion f(x) = a*x^k die allgemeine Kurzschreibweise von Potenzfunktionen?

also ist die Funktion je nachdem was für k eingesetzt wird entweder zB eine Quadratische Funktion f(x)= a*x^2 oder zB eine Polynomfunktion f(x)=a*x^3? --> ich verstehs eben nicht weil ich gedacht habe, dass die quadratische funktion eigentlich so ausschaut: f(x)= a*x^2 + b*x + c (und die Polynom eben auch länger)

heißt das, wenn  zB f(x) = a*x^3 als Funktion gegeben ist, ich diese Funktion in die lange Form  "f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d erweitern muss? oder sind die kurze Schreibweise und die lange Schreibweise zwei unterschiedliche Funktionensarten?

besser gefragt: was ist der Unterschied zwischen der kurzen Form und der langen Form? Fehlt bei der kurzen Form nur der Rest, den man selber noch anhängen muss je nachdem was für eine Zahl für das k gegeben ist?

Daniel hat in einem Video mal für die Formel f(x)= a*x^k das k berechnet und meine Frage ist jetzt, ob ich ,wenn ich das k ausgerechnet habe, dieses dann einfach in diese kurze Formelschreibweise einsetze oder ob ich je nachdem was bei k rauskommt in eine lange Formel abändern muss? Ich hoffe man versteht was ich meine. -> Also wenn zB für k 4 rauskommt, ich dann die Formel f(x)=a*x^4 in a*x^4+b*x^3+c*x^2 ... abändern muss ? 

vielen Dank und sorry wenn es etwas verwirrt geschrieben ist - ich bin voll verwirrt :(

liebe Grüße 
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Potenzfunktionen sind alle Funktionen mit der Gleichung \(f(x)=x^n\), wobei n eine positive oder negative ganze Zahl sein kann (bzw. sogar aus den Reellen Zahlen siehe Wurzelfunktionen).

für n>0 lassen sich durch Aneinanderreihung einzelner Potenzfunktionen die ganzrationalen bzw. Polynomfunktionen bilden.

Der Grad der Funktion wird dabei durch die höchste vorkommende Potenz angegeben

\(f(x)=ax^1+bx^0\)    Grad 1/ 1.Ordnung / Sondername Gerade;  a darf dabei nicht Null sein, b aber schon

\(f(x)=ax^2+bx^1+cx^0\)   Grad 2/ Parabel 2.Ordnung;  a darf dabei nicht Null sein, b und/oder c aber schon

\(f(x)= ax^3+bx^2+cx^1+dx^0\)  Grad 3/ Parabel 3.Ordnung; a darf dabei nicht Null sein, b und/oder c und/oder d aber schon

 

da \(x^0=1\) fällt es im Term weg; ob man eine Funktion 0.ter Ordnung mit \(f(x)= ax^0=a\) so bezeichnen kann, weiß ich nicht

das sollte etwas weniger Verwirrung auch bzgl. deiner anderen Frage bringen, wenn du jetzt klarer siehst, kannst du ja nochmal genauer nachfragen

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Für den ersten Satz: n kann sogar reell sein und muss nicht aus den ganzen Zahlen kommen :).   ─   orthando 08.04.2021 um 12:28

stimmt, ich ändere es mal ab ;)   ─   monimust 08.04.2021 um 12:35

oh mein gott vielen Dank an euch beide !

heißt das also, dass ich auf zB f(x)= ax^2 komme, weil in der "langen Schreibweise" b und c = 0 sind und daher bx^1 und cx^0 wegfallen?

vielen Dank nochmals, ich bringe mir das gerade irgendwie alles selber bei und hab einfach gar keinen Plan von irgendwas :( ich bin so froh, dass ich hier fragen kann!

liebe Grüße
  ─   jostaberry 08.04.2021 um 12:54

So ohne Zusammenhang ist das schwer zu beantworten. Aber solltest du wirklich durch verschiedene Gründe letztlich auf "f(x) = ax²" kommen, dann sieht das so aus, als würden wir mit b = c = 0 arbeiten. Richtig. Das hat aber nichts/wenig mit Potenzfunktionen zu tun. "Zufällig" haben wir eben einen Spezialfall eines Polynomserhalten, welcher b = c = 0 hat und damit eine Potenzfunktion, wenn man sie als solche bezeichnen will.
Du kannst aber gerne bei dem Begriff Polynom bleiben und du hättest weder was verpasst noch was falsches gesagt.
Ok? :)
  ─   orthando 08.04.2021 um 13:10

es gibt auch noch den Begriff "Monom" wenn von "Poly" nur eines übrigbleibt, aber der ist wohl eher weniger gebräuchlich.   ─   monimust 08.04.2021 um 13:22

ok, ich hoffe einfach dass sich da bei mir bald was lichtet - normalerweise eh wenn ich mal drüber geschlafen habe.. stimmt das:

eine Potenzfunktion = a*x^k (= allgemeine Schreibweise); das heißt es könnte zB dastehen a*x^3 und das wäre dann eine Potenzfunktion weil es sich hier nur um eine Potenz handelt --> diese ergibt dann als Graph so eine Kurve vom 3. Quadrant zum 1. Quadrant (KÖNNTE aber auch sein dass es sich um eine Polynomfunktion handelt bei der b und c und d 0 sind)

Polynomfunktion = mehrere Potenzfunktionen zusammengefügt --> ergibt dann halt auch eine bestimmte "Kurve"

stimmt das so?? ich glaub dann hab ichs halbwegs gechäckt

VIELEN DANK nochmals!!! ich war heute schon so verzweifelt dass ich fast geweint hab vor Wut -.- :D
  ─   jostaberry 08.04.2021 um 14:22

Ja, das klingt alles sehr gut. Ich denke man kann sich das so mal festhalten.

Für Profis dann noch der Hinweis: Eine Polynomfunktion ist nicht aus beliebigen Potenzfunktionen zusammengestellt, sondern nur aus Potenzfunktionen ax^n, wobei n eine natürliche Zahl sein soll (k bei dir darf gerne reell sein).
Fürs Verständnis reicht aber vorerst mal deine Veranschaulichung, würde ich sagen :).
  ─   orthando 08.04.2021 um 14:50

vielen Dank für eure Hilfe, das hat mich wirklich sehr weitergebracht!   ─   jostaberry 08.04.2021 um 15:08

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Du sprichst hier von zwei verschiedenen Dingen und fügst sie ineinader, was zu deiner Verwirrung führt.

Dein erster Satz (Frage) ist richtig. Das ist eine Potenzfunktion in allgm Schreibweise.

Das ist aber nicht identisch mit Polynomen oder bspw quadratischer Funktionen. Die quadratische Funktionen setzen sich aus Funktionstermen zusamen. Deren allgm Form g(x) = ax² + bx +c ist, haben wir eine Zusammensetzung aus drei Potenzfunktionen. ax², bx und c.
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