Gaußsche Zahlenebene

Aufrufe: 78     Aktiv: 02.07.2022 um 17:48

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Hallo,

ich habe folgenden Ausdruck:

z= (3+8i)^(^1/4)

Dieser soll berechnet werden und soll in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werdne.

Beim Ausrechnen erhalte ich ca. z = 1,7*e^1,2120...
In der Lösung wird jedoch für phi in der Exponentialschreibweise der Audruck phi_k angegeben mit phi_0=0,303, phi_1 =1,874 etc. bis phi_4 und es sind vier Pfeile in der Gaußschen Zahlenebene eingetragen. Vermute aufgrund der vier verschiedenen phi's. Ich verstehe jedoch nicht, wie man hierauf kommt...?

Kann mir jmd den anderen Lösungsweg erklären? Danke!
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Was ist denn in der Lehrveranstaltung dazu gesagt worden?   ─   mikn 02.07.2022 um 17:39

Wenn du die Winkel \(\phi\) mit \(4\) multiplizierst, muss der Ursprüngliche wiederkommen. Weil \(e^{i(\phi+2\pi)}=e^{i\phi}\) sind auch alle Additionen mit \(\frac{2\pi}{4}\) erlaubt. Das wurde hier gemacht, weil man das 4 mal addieren darf   ─   dragonbaron 02.07.2022 um 17:42
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Ja also es gibt mehrere Lösungen,  weil hoch 1/4 bedeutet vierte Wurzel und es gibt eben nicht eine Wurzel sondern mehrere. Ist \(\alpha \in \mathbb{C}\) mit \(\alpha^4=3+8i\), so ist eben auch \(\alpha\zeta, \alpha \zeta^2, \alpha \zeta^3\) eine Wurzel von \(3+8i\), wobei \(\zeta\) primitive Einheitswurzel ist
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