Differential 3xy=x^3+y^3

Aufrufe: 302     Aktiv: 14.01.2023 um 17:17

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Hallo Zusammen
Ich habe ein Probelm, bei folgender Aufgabe. Ich muss die Koordianten des Punktes berechnen, bei dem die Tangente horizontal ist. Ich habe bereits die Ableitung der Funktion berechnet und müsste ja nun die Ableitung gleich 0 setzen. Jedoch weiss ich nicht wie ich weiter komme. Hat jemand ein Tipp, wie ich
weiter vorgehen muss?

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Student, Punkte: 16

 
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So weit ist doch alles gut. Nun soll $\frac{dy}{dx}(x,y)=0$ sein, aber nicht für irgendeinen Punkt $(x,y)$, sondern einen Punkt $(x,y)$, der auf der Kurve liegt. Damit hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, was in diesem Fall nicht schwer zu lösen ist und zum gesuchten Punkt führt.
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Besten Dank für die Antwort. Ich habe jetzt die Ableitung einmal nach y aufgelöst und anschliessend, den Wert eingesetzt und nach x aufgelöst. Ich bekomme die beiden Koordinaten (0,0). Jedoch wenn ich den Graphen in der Aufgabenstellung anschaue müsste ja dieser Punkt an beiden Seiten grösser 1 sein. Oder mache ich ein Überlegungsfehler?   ─   grantorino 14.01.2023 um 09:01

Es gibt zwei Lösungen. Dass bei $(0,0)$ eine waagerechte Tangente ist, sieht man ja. Allerdings ist aber $x>0, y>0$ gefordert.   ─   cauchy 14.01.2023 um 09:33

Danke für die Antwort. Leider bekomme ich es nicht hin, auf eine Lösung zu kommen, bei der x und y grösser 0 ist. Wenn ich die Ableitung nach x auflöse, bekomme ich als Resultat -Wurzel y und + Wurzel y. Wenn ich dies nun wieder in die Gleichung einsetze und nach y auflöse, bekomme ich 0. Wahrscheinlich mache ich ein Überlegungsfehler.   ─   grantorino 14.01.2023 um 10:56

Wahrschinlich stehe ich an, beim 0 Stellen. Ich habe die Ableitung (x^2-y)/(x-y^2) gleich Null gestellt und versuchte diese erfolglos aufzulösen.   ─   grantorino 14.01.2023 um 14:39

Der bruch ergibt 0, wenn der Zähler gleich 0. Ich stellte die Gleichung 0=x^2-y auf, da sich dieser Ausdruck im Zähler befindet. Anschliessend habe ich dies nach y aufgelöst und es ergibt sich x^2 und dies eingesetzt ergibt 0=x^2-x^2. Da komme ich nicht weiter, weil dies wieder 0 ergibt. (Wie kann ich die Rechnung hochladen? Habe die rechnung einfach als Bild auf dem Tablet).   ─   grantorino 14.01.2023 um 14:50

Ich stehe komplett auf dem Schlauch. Ich verstehe nicht warum ich nichts auflösen muss und was ich einsetzen muss, damit ich auf die Lösung komme.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:05

Wenn du das Ergebnis in dieselbe Gleichung einsetzt, ist klar, dass $0=0$ rauskommt. Was für eine Gleichung muss denn noch erfüllt sein (siehe Antwort von mikn)?   ─   cauchy 14.01.2023 um 15:09

Die Gleichung von dx (x-y^2) darf nicht gleich 0 sein, weil dies sonst eine Division durch 0 gibt.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:11

Ich komme wirklich nicht drauf. Ich weiss, dass eine Gleichung 0=x^2-y ist. Eine möglichkeit für eine zweite Gleichung wäre die von dx(x-y^2), jedoch sehe ich nicht was das für ein zusammenhang hat.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:31

In deiner Antwort steht, "Hier muss man gar nicht auflösen und auch gar nicht umstellen. Einsetzen und faktorisieren.". Ich habe zwar die Gleichung der Ableitung aber ich verstehe nicht wie ich auf den x und y Wert komme ohne aufzulösen und ohne umzustellen.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:40

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Du sollst die Antwort lesen, nicht den Kommentar!   ─   cauchy 14.01.2023 um 15:42

Sorry!
Ich habe es auch noch versucht mit dx=0 und dy=0 und dies Aufzulösen, was die Ergebnisse (0,0) und (1,1) ergibt. Jedoch gemäss dem Bild in der Aufgabestellung kann dies ja gar nicht sein, dass die horizontale Tangente an den Punkten (1,1) liegt. Sonst komme ich nicht selber drauf, welche zwei Gleichungen ich aufstellen soll.
  ─   grantorino 14.01.2023 um 15:52

Weil ich nicht verstehe, wie ich auf die zweite Gleichung kommen soll. Gemäss deiner Antwort müsste dies ja mit der Funktion zusammenhängen, weil der Punkt auf der Kurve liegen muss. Aber ich komme nicht drauf, wie ich diese zweite Gleichung aufstellen soll.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:04

Indem ich die beiden Punkte (x,y) in die Funktion einsetze.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:11

Sorry, das habe ich falsch geschrieben. Ich meinte, wenn ich den Wert von Punkt X und den Wert von Punkt Y in die Gleichung einsetze.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:22

Kann es sein, dass die Lösung X=1.118 und Y=1.419 ergibt? Wenn nicht gebe ich mich geschlagen.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:32

Ich versuchte es mit dem, dass ich beide Ableitungen gleich der Funktion 3xy=x^3+y^3 stelle. Aber stimmt auch nicht. Da ich selber nicht auf eine Lösung komme, glaube ich ,dass ich hier nicht selber weiterkomme. Danke trotzdem für euere Antworten.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:41

Ich glaube ich habe die Lösung gefunden. Die 1. Gleichung lautet y=x^2 und die zweite Gleichung 3xy=x^3+y^3   ─   grantorino 14.01.2023 um 17:00

x=1.25992, y=1.5874   ─   grantorino 14.01.2023 um 17:05

Danke für deine Antworten und deine Geduld mit mir :)
Meinst du mit den Ergebnissen x=2^(1/3) und y= 2^(2/3) so anzugeben?
  ─   grantorino 14.01.2023 um 17:14

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