Differential 3xy=x^3+y^3

Aufrufe: 128     Aktiv: 14.01.2023 um 17:17
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Hallo Zusammen
Ich habe ein Probelm, bei folgender Aufgabe. Ich muss die Koordianten des Punktes berechnen, bei dem die Tangente horizontal ist. Ich habe bereits die Ableitung der Funktion berechnet und müsste ja nun die Ableitung gleich 0 setzen. Jedoch weiss ich nicht wie ich weiter komme. Hat jemand ein Tipp, wie ich
weiter vorgehen muss?

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1 Antwort
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So weit ist doch alles gut. Nun soll $\frac{dy}{dx}(x,y)=0$ sein, aber nicht für irgendeinen Punkt $(x,y)$, sondern einen Punkt $(x,y)$, der auf der Kurve liegt. Damit hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, was in diesem Fall nicht schwer zu lösen ist und zum gesuchten Punkt führt.
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Besten Dank für die Antwort. Ich habe jetzt die Ableitung einmal nach y aufgelöst und anschliessend, den Wert eingesetzt und nach x aufgelöst. Ich bekomme die beiden Koordinaten (0,0). Jedoch wenn ich den Graphen in der Aufgabenstellung anschaue müsste ja dieser Punkt an beiden Seiten grösser 1 sein. Oder mache ich ein Überlegungsfehler?   ─   grantorino 14.01.2023 um 09:01
Es gibt zwei Lösungen. Dass bei $(0,0)$ eine waagerechte Tangente ist, sieht man ja. Allerdings ist aber $x>0, y>0$ gefordert.   ─   cauchy 14.01.2023 um 09:33
Danke für die Antwort. Leider bekomme ich es nicht hin, auf eine Lösung zu kommen, bei der x und y grösser 0 ist. Wenn ich die Ableitung nach x auflöse, bekomme ich als Resultat -Wurzel y und + Wurzel y. Wenn ich dies nun wieder in die Gleichung einsetze und nach y auflöse, bekomme ich 0. Wahrscheinlich mache ich ein Überlegungsfehler.   ─   grantorino 14.01.2023 um 10:56
Hier muss man gar nicht auflösen (sowieso möglichst zu vermeiden, weil bei Wurzeln immer Fallunterscheidungen drohen) und auch gar nicht umstellen (nichts, was die Bezeichnung "umstellen" verdient). Einsetzen und faktorisieren. Lade Deine Rechnung hoch.   ─   mikn 14.01.2023 um 12:28
Wahrschinlich stehe ich an, beim 0 Stellen. Ich habe die Ableitung (x^2-y)/(x-y^2) gleich Null gestellt und versuchte diese erfolglos aufzulösen.   ─   grantorino 14.01.2023 um 14:39
Dann überlege mal, wann ein Bruch null wird. Wenn Du das nicht weißt, kannst Du auch umformen, dauert ein paar Sekunden länger. Nochmal: Bei Problemen lade Deine Rechnung hoch.   ─   mikn 14.01.2023 um 14:41
Der bruch ergibt 0, wenn der Zähler gleich 0. Ich stellte die Gleichung 0=x^2-y auf, da sich dieser Ausdruck im Zähler befindet. Anschliessend habe ich dies nach y aufgelöst und es ergibt sich x^2 und dies eingesetzt ergibt 0=x^2-x^2. Da komme ich nicht weiter, weil dies wieder 0 ergibt. (Wie kann ich die Rechnung hochladen? Habe die rechnung einfach als Bild auf dem Tablet).   ─   grantorino 14.01.2023 um 14:50
Also hast Du die Gleichung $\frac{dy}{dx}=0$ doch richtig aufgelöst. Dann lies nochmal genau meine Antwort oben, da steht ja, was dann zu tun ist.   ─   mikn 14.01.2023 um 14:53
Ich stehe komplett auf dem Schlauch. Ich verstehe nicht warum ich nichts auflösen muss und was ich einsetzen muss, damit ich auf die Lösung komme.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:05
Wenn du das Ergebnis in dieselbe Gleichung einsetzt, ist klar, dass $0=0$ rauskommt. Was für eine Gleichung muss denn noch erfüllt sein (siehe Antwort von mikn)?   ─   cauchy 14.01.2023 um 15:09
Die Gleichung von dx (x-y^2) darf nicht gleich 0 sein, weil dies sonst eine Division durch 0 gibt.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:11
Das stimmt zwar, steht aber nicht in meiner Antwort. Es steht da was von zwei Gleichungen, auch woher die zweite kommt. Wenn Du statt zwei Gleichungen zweimal die gleiche nimmst, musst Du Dich über Verwirrung nicht wundern.   ─   mikn 14.01.2023 um 15:16
Ich komme wirklich nicht drauf. Ich weiss, dass eine Gleichung 0=x^2-y ist. Eine möglichkeit für eine zweite Gleichung wäre die von dx(x-y^2), jedoch sehe ich nicht was das für ein zusammenhang hat.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:31
Was steht denn in meiner Antwort dazu? Was daran verstehst Du nicht?   ─   mikn 14.01.2023 um 15:33
In deiner Antwort steht, "Hier muss man gar nicht auflösen und auch gar nicht umstellen. Einsetzen und faktorisieren.". Ich habe zwar die Gleichung der Ableitung aber ich verstehe nicht wie ich auf den x und y Wert komme ohne aufzulösen und ohne umzustellen.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:40
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Du sollst die Antwort lesen, nicht den Kommentar!   ─   cauchy 14.01.2023 um 15:42
Sorry!
Ich habe es auch noch versucht mit dx=0 und dy=0 und dies Aufzulösen, was die Ergebnisse (0,0) und (1,1) ergibt. Jedoch gemäss dem Bild in der Aufgabestellung kann dies ja gar nicht sein, dass die horizontale Tangente an den Punkten (1,1) liegt. Sonst komme ich nicht selber drauf, welche zwei Gleichungen ich aufstellen soll.   ─   grantorino 14.01.2023 um 15:52
Warum gehst Du nicht auf meinen Tipp in der Antwort ein (das ist der Text ganz oben)? Auch nicht auf die Nachfrage dazu.   ─   mikn 14.01.2023 um 15:54
Weil ich nicht verstehe, wie ich auf die zweite Gleichung kommen soll. Gemäss deiner Antwort müsste dies ja mit der Funktion zusammenhängen, weil der Punkt auf der Kurve liegen muss. Aber ich komme nicht drauf, wie ich diese zweite Gleichung aufstellen soll.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:04
Puh, endlich gehst Du auf die Rückfrage ein. Woran erkennst Du denn, ob ein Punkt $(x,y)$ auf der Kurve liegt?   ─   mikn 14.01.2023 um 16:07
Indem ich die beiden Punkte (x,y) in die Funktion einsetze.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:11
achso. Es gibt keine zwei Punkte hier, (x,y) ist EIN Punkt.   ─   mikn 14.01.2023 um 16:17
Sorry, das habe ich falsch geschrieben. Ich meinte, wenn ich den Wert von Punkt X und den Wert von Punkt Y in die Gleichung einsetze.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:22
Achte auf den Unterschied Punkt/Stelle. X und Y sind keine Punkte, sondern Stellen. Und nun löse die Aufgabe, Du weißt alles.   ─   mikn 14.01.2023 um 16:27
Kann es sein, dass die Lösung X=1.118 und Y=1.419 ergibt? Wenn nicht gebe ich mich geschlagen.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:32
Was hast Du gerechnet? Hast Du die zweite Gleichung? Bei Deinem Ergebnis ist ja noch nicht einmal x^2=y erfüllt.   ─   mikn 14.01.2023 um 16:37
Ich versuchte es mit dem, dass ich beide Ableitungen gleich der Funktion 3xy=x^3+y^3 stelle. Aber stimmt auch nicht. Da ich selber nicht auf eine Lösung komme, glaube ich ,dass ich hier nicht selber weiterkomme. Danke trotzdem für euere Antworten.   ─   grantorino 14.01.2023 um 16:41
Du rätst einfach. Es gibt zwei Bedingungen, einmal x^2=y, und zum anderen dass der Punkt auf der Kurve liegen muss. Das steht schon seit langem in der Antwort ganz oben. Wenn das nicht reicht, solltest Du eine Pause machen und später nochmal probieren. Ohne Sinn einfach zu raten bringt nichts.
Alternativ kannst Du auch einige (der unendlich vielen) Lösungen von $x^2=y$ (beachte: Es sind PUNKTE gesucht) testen, ob sie auf der Kurve liegen. Vielleicht hast Du ja Glück ;-)   ─   mikn 14.01.2023 um 16:50
Ich glaube ich habe die Lösung gefunden. Die 1. Gleichung lautet y=x^2 und die zweite Gleichung 3xy=x^3+y^3   ─   grantorino 14.01.2023 um 17:00
Endlich! Und die Lösung lautet?   ─   mikn 14.01.2023 um 17:03
x=1.25992, y=1.5874   ─   grantorino 14.01.2023 um 17:05
Ja. Gewöhn Dir an Ergebnisse exakt anzugeben, nicht dezimal (so stimmt nämlich streng genommen Dein Ergebnis nicht und außerdem ist es für uns mühselig zu prüfen).   ─   mikn 14.01.2023 um 17:11
Danke für deine Antworten und deine Geduld mit mir :)
Meinst du mit den Ergebnissen x=2^(1/3) und y= 2^(2/3) so anzugeben?   ─   grantorino 14.01.2023 um 17:14
Genau. Und lies nochmal unseren Dialog durch und setz Dich mal damit auseinander, warum die Tipps lange Zeit nicht bei Dir gezündet haben.   ─   mikn 14.01.2023 um 17:17

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