Graphen anhand spezifischer Eigenschaften erstellen

Erste Frage Aufrufe: 165     Aktiv: 05.08.2021 um 09:27

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Guten Abend,
Wie bereits der Überschrift entnehmbar, würde ich gerne einen Graphen erstellen.
Dieser soll einen Hochpunkt bei x=0 von y=1 haben, Eine Wendestelle bei x=20
und bei x gegen unendlich y gegen null gehen. 
Hat jemand einen Vorschlag zur Lösung, oder eine Lösung mit erklärung? Im Zweifel würde mir auch die Lösung pur genügen.
Jede Hilfe ist sehr Willkommen. komme hier nicht wirklich vorwärts. 
Vielen Dank!
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Student, Punkte: 15

 
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1 Antwort
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Wie lauten denn die Bedingungen für Extrempunkte und Wendepunkte? Kennst du eine Funktion, die für $x\rightarrow\infty$ gegen 0 geht? Tipp: Exponentialfunktion. 

Kommst du damit weiter?
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Selbstständig, Punkte: 11.02K

 

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Danke für die Antwort. ein paar Gedanken dazu hatte ich mir bereits gemacht: eine Exponentialfunktion bei der der exponent negativ ist und die grundzahl größer als 1 oder die Grundzahl größer als null und kleiner als eins ist und der exponent positiv (ist ja auch beides das gleiche), beschreibt die Funktion ab der Wendestelle ganz gut. Zwischen x=0 und x=20 ist wahrscheinlich eine negativ quadratische Funktion die einfachste Lösung. Ich habe aber bis jetzt keinen Ansatz das zu kombinieren. Das müsste ein Graph mindestens 3. Ordnung sein, oder irre ich mich? Ich hatte bereits die Idee gehabt bei der 2. Ableitung anzufangen da der Graph dann deutlich einfacher sein sollte und von dort zu Integrieren. Da bin ich aber nicht sehr weit gekommen und glaube auch dass es eine bessere Lösung geben muss, falls es überhaupt eine Lösung ist, was ich zunehmend in Frage stelle. Übrigens ist mir der negative x bereich nicht wichtig. X=0 könnte also auch ein Sattelpunkt sein.
  ─   lutz nygaard 03.08.2021 um 09:26

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Hier noch eine spezifischere Antwort, auf die erste Frage Ihrer Antwort: Wenn bei f(0) der Hochpunkt und bei f(20) der Wendepunkt ist, muss bei f'(0) eine Nullstelle und bei f'(20) ein Hochpunkt sein, also muss f''(0)<0 und f''(20)=0 sein. Mein Ansatz, welcher mich nicht wirklich weiterbrachte, war eine geeignete Formel für f''(x) zu finden. Ich hatte die einfachste Lösung genommen und f''(x)= 20-x gewählt, Das Integral davon müsste f'(x)=-(x-40)x/2 sein + C sein. Das offensichtliche Problem ist, dass zwar bei f'(0)=0 ist aber dass ich nur auf die zweite Nullstelle bei f'(20) komme, wenn ich C=-200 setze was natürlich den wert von f'(0)<0 macht. Könnte es sein, dass für f''(x) eine Gerade zu wählen ein Fehler war? Könnte es eine bessere Idee sein für f''(x) auch eine Exponentialfunktion zu nehmen?   ─   lutz nygaard 03.08.2021 um 13:12

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Hier noch ein Versuch mit einer Exponentialfunktion: f''(x)=e^(20-x)-1 also f'(x)=-e^(20-x)-x+C, Wieder können die nullstellen auch mit anpassung von C nicht bei 0 und 20 sein. Was mache ich falsch? Welche sonstigen Eigenschaften muss f''(x) haben, dass es funktioniert?
  ─   lutz nygaard 03.08.2021 um 13:35

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Erstmal sehr löblich, wie viele Gedanken du dir machst. Das sieht man selten hier.

Schon mal versucht Funktionen der Form $f(x)=p(x)\mathrm{e}^{-x}$ mit einem Polynom $p$ zu betrachten? Wie sehen solche Funktionen aus? Zeichne mal einige und verwende dann eine allgemeine Formel für $p$ und versuche die unbekannten Parameter mit deinen Bedingungen zu berechnen.

Ich habe es selbst noch nicht nachgerechnet, aber eigentlich sollte das klappen.
  ─   cauchy 03.08.2021 um 17:43

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Ich hatte das vorhin mal versucht, aber den Wendepunkt nicht an der richtigen Stelle erhalten, warum auch immer, der Rest hat gepasst.   ─   monimust 03.08.2021 um 17:57

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Danke dir für den Versuch. Ich setze mich gleich auch mal ran.   ─   cauchy 03.08.2021 um 18:06

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Ich habe es auch mal nachgerechnet und komme auch auf eine passende Lösung. Man verwende besser $\mathrm{e}^{-kx}$. :)   ─   cauchy 03.08.2021 um 18:43

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Vielen Dank für das lob cauchy. Ich bin eurer Hilfe sehr dankbar und würde es für falsch halten wenn ich mir ohne eigen Bemühungen helfen lassen würde. Auch wenn ich nicht sonderlich weit gekommen bin.
Hatte bereits mit einem Polynom gerechnet. Sehe dazu auch keine Alternative. Hatte nur gehofft, durch das Integrieren einfacher Funktionen auf das Polynom zu kommen. werde es nun Probieren, wie es hier kommentiert/geantwortet wurde.
  ─   lutz nygaard 03.08.2021 um 19:14

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Ich denke, "einfache" Steckbriefaufgaben kennst du, oder? Das ist in der Regel der Ansatz, den man da verwendet. Da wir aber zusätzlich die Bedingung haben, dass die Funktion gegen 0 gehen soll, brauchen wir einen Faktor, der gegen 0 geht. Dafür nehmen wir dann die Exponentialfunktion. Es gibt nämlich kein Polynom, dass gegen 0 geht, wenn $x$ ins Unendliche geht. Also multiplizierst du dein Polynom eben mit dieser Exponentialfunktion. Welches Grad das Polynom haben muss, kann man sich leicht überlegen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man das angehen kann, versuch es mit dem einfachsten. Wie viele Bedingungen hast du und wie viele Unbekannte darfst du dann maximal haben? Das sollte eigentlich mit den obigen Hinweisen ausreichend sein, um auf die Form des Polynoms zu kommen. ;) Viel Erfolg.   ─   cauchy 03.08.2021 um 19:31

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Vielen Dank. Mit dem Begriff Steckbriefaufgaben bin ich nicht vertraut. Das könnte auch daran liegen, dass ich Mathe 1 und 2 an meiner Hochschule auf englisch hatte. Ich baue momentan auf den Ansatz auf, den gerdware geantwortet hat. Scheine auf dem richtigen Weg zu sein.
  ─   lutz nygaard 03.08.2021 um 19:42

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Steckbriefaufgaben sind Thema der gymnasialen Oberstufe. Sein Ansatz ist aber auch genau das, worauf ich hinaus wollte. Man kann allerdings ein einfacheres Polynom wählen und bekommt damit am Ende eine schönere Lösung.   ─   cauchy 03.08.2021 um 19:46

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Dann muss ich das mit den Steckbriefaufgaben leider vergessen haben. Einfach und schöner klingt sehr gut zusätzlich komme ich mit dem polynom auch nicht weiter. Das was am ähnlichsten zu dem Gewollten ist, ist: f(x)=(0,5x^2+x+1)e^−x. Mir ist aufgefallen, dass der Koeffizient vor x^2 nicht zu hoch sein darf, da sonst aus dem Sattelpunkt ein lokales minima wurde zusätzlich ist jeder versuch es komplexer zu machen bei mir gescheitert. wenn ich x mit einem Koeffizienten geändert habe, dann hat es dem Graphen überhaupt nicht gut getan. An den Wendepunkt bei x=20 konnte ich mich nicht annähernd antasten. Wo mache ich die fehler und was könnte ich besser machen?
  ─   lutz nygaard 03.08.2021 um 21:03

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Rechnest du, ober probierst du tatsächlich nur Werte aus? Ohne konkrete Rechnung ist es natürlich schwierig, Fehler zu finden. Mit dem Ansatz von gerdware kommt jedenfalls nicht so einen schöne Lösung raus. Der Koeffizient vor dem $x^2$ ist ein ziemlich unschöner Bruch.   ─   cauchy 03.08.2021 um 21:06

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finde auch dass es unschön ist. hatte bei x^2+x+1 die koeffizienten geändert die ableitung erstellt und dann konnte ich beurteilen ob es sich in die gewünschte Richtung bewegt oder nicht. Mir gefällt der Ansatz auch nicht wirklich, aber es ist mir nichts besseres eingefallen. oder Hätte ich doch bei der 2. Ableitung starten sollen?   ─   lutz nygaard 03.08.2021 um 22:01

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Da du die Koeffizienten nicht kennst, setzt du für diese unbekannte Parameter, die du dann mit Hilfe deiner Bedingungen berechnen kannst. Du hast insgesamt drei Bedingungen, also brauchst du 3 Parameter. Entweder machst du den Ansatz $f(x)=(ax^2+bx+c)\mathrm{e}^{-x}$ oder den Ansatz $f(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-kx}$. In beiden Fällen hast du drei unbekannte Parameter. Letzteres liefert die schönere Lösung.

Um die Parameter zu berechnen nutzt du jetzt deine Bedingungen. Dafür musst du den obigen allgemeinen Ansatz zweimal ableiten, also mit den Parametern und am Ende deine Bedingungen einsetzen. Für den Wendepunkt hast du die Bedingung $f''(20)=0$, weshalb du deinen Ansatz zweimal ableiten musst. Kommst du damit weiter?
  ─   cauchy 03.08.2021 um 22:13

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Den Ansatz mit dem quadratischen Faktor liefert vor allem 2 Wendepunkte, wobei nur der erste im GTR sichtbar ist, was mich heute morgen an der Richtigkeit zweifeln ließ. Inzwischen ist klar, es gibt auch um den x Wert 20 (zweiter WP) noch eine Nullstelle und einen Tiefpunkt und das alles mit y=Werten um 10^(-10). Ich vermute, der Ansatz mit dem linearen Faktor ist der deutlich bessere (den habe ich aber noch nicht probiert)   ─   monimust 03.08.2021 um 23:02

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Genau so ist es. Daher gefällt mir der lineare Ansatz deutlich besser. Auch sind die Ableitungen dort nochmal etwas einfacher zu berechnen.   ─   cauchy 03.08.2021 um 23:06

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Das Klingt sehr gut, und die Ableitung des allgemeinen Ansatzes klingt sehr vertraut und vielversprechend. Werde morgen gucken wie ich damit zurecht komme. Vielen Dank. Ohne Hilfe hätte ich wahrscheinlich bereits aufgegeben,
  ─   lutz nygaard 03.08.2021 um 23:24

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In der Mathematik muss man einfach mal rechnen und probieren. :) Wem sowas natürlich keinen Spaß macht, der wird sich immer schwer damit tun. Viel Erfolg auf jeden Fall. :)   ─   cauchy 03.08.2021 um 23:26

Da Stimme ich zu. Man sollte aber wenigstens eine Idee oder Ansatz haben, ohne das trägt Spaß alleine wahrscheinlich nicht so viel zur Lösung bei. Ich konnte mich heute leider nur spät damit beschaffen, bin aber dennoch Sehr weit mit deinem Ansatz gekommen. Zusätzlich sieht er ohne angepasste Koeffizienten auch besser und passender aus. Ich hatte zuerst den Ansatz f(x)=(ax+b)e^(-kx) ohne Ableitung betrachtet. Dabei ist mir aufgefallen, für die bedingung dass f(0)=1 b=1 sein muss. Für die Ableitungen von f(x)=(ax+1)e^(-kx) habe ich f'(x)=−(akx+k-a)e^(-kx) und f''(x)=k(akx+k-a)e^(-kx). Dann hatte ich f'(0)=f''(20) also k-a=k(20ak+k-a)e^(-20k). Von hier komme ich erneut nicht wirklich weiter. Würde es einen Vorteil haben wenn ich noch mehr Bedingungen in die Gleichung Integriere, oder gibt es eine Bessere Lösung?
  ─   lutz nygaard 04.08.2021 um 20:04

$b=1$ stimmt. Warum setzt du denn $f'(0)=f''(20)$? Dir fehlt ja noch eine Bedingung. Was gilt denn für die Ableitungen?   ─   cauchy 04.08.2021 um 21:06

Es fehlt noch f''(0)≤0 oder? Ich hatte gehofft mit f'(0)=f''(20) wenigstens eine ungefähre Korrelation zwischen a und k zu bekommen. f''(0)≤f'(0) war wahrscheinlich der bessere ansatz da ich nun mit k-a≤k-a die Information habe, dass die Funktion mit einem Maxima an f(0) unmöglich ist, sondern nur mit Sattelpunkt möglich ist? Ist zwar interessant zu wissen, bin mir aber noch nicht ganz sicher wie mich das weiter bringt.   ─   lutz nygaard 04.08.2021 um 22:59

Falsche Schlussfolgerung. Was bedeutet der Hochpunkt für $f'(0)$ und was bedeutet der Wendepunkt für $f''(20)$?   ─   cauchy 04.08.2021 um 23:02

Die (teils falschen) Bedingungen standen hier ja schon einmal als Antwort, damit hast du wohl bei dem (ungünstigen) quadratischen Ansatz gearbeitet.
f(0)=1 (HochPUNKT), f'(0)=0 (HOCHpunkt) und f"(20)=0 (WENDEpunkt)
Die 2. und 3. Bedingung nur kombinieren bringt dich nicht weiter, solange die NULL nicht eingebaut wird.
  ─   monimust 05.08.2021 um 09:27

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