Zeige, dass $(A \times B, \hat{\circ})$ eine Gruppe ist

Aufrufe: 360     Aktiv: 16.01.2022 um 15:26

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Seien \( \left(A, \circ_{A}\right),\left(B, \circ_{B}\right) \) zwei Gruppen.
Zz ist, dass \( (A \times B, \hat{\circ}) \) eine Gruppe ist, wobei:
$$\hat{\circ}:(A \times B) \times (A \times B) \rightarrow (A \times B); ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \mapsto (a_1 \circ _A a_2, b_1 \circ _B b_2)$$
Und man soll dazu auch noch bestimmen wann sie ablesch ist.

Hier meine Frage:
Ich muss ja zeigen, dass das ganze
a) assoziativ ist
b) ein neutrales Element existiert
c) ein inverses Element existiert
d) hinsichtlich $\hat{\circ}$ abgeschlossen ist
e) kommutativ ist

Jetzt habe ich hier so einen komischen Kringel $\hat{\circ}$ der ja die einzelnen Rechenoperationen repräsentiert. Muss ich jetzt die Eigenschaften a)-e) einzeln für $+/-/ \cdot /:$ zeigen (bzw. genügt $+/ \cdot$, weil ja das inverse Element ja auch geteilt und minus impliziert)? 

Wie genau stelle ich das mit diesem kartesischen Produkt an, z.B. bei der Assoziativität. Da müsste man ja zeigen:
$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$, muss ich dann hier zeigen:
$(a_1,b_1) \hat{\circ}((a_2,b_2) \hat{\circ}(a_3,b_3))=((a_1,b_1) \hat{\circ}(a_2,b_2)) \hat{\circ}(a_3,b_3)$ ?

Ich bedanke mich für jeden Beitrag :D
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