Kombinatorik Aufgaben HILFE

Aufrufe: 179     Aktiv: 24.11.2023 um 02:21

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Hallo zusammen,

ich habe gerade ziemliche Probleme damit, die Lösung der folgenden beiden Aufgaben zu verstehen:

1.
Auf wie viele Arten kann man 7 Hotelgäste in 10 freien Einzelzimmern unterbringen?
Die Lösung ist 10! / (10-7)! = 604800
Was eine Kombination Mit Reihenfolge und ohne Wiederholung entspricht. Nun kapier ich nicht ganz warum.

Mein Gedanke dazu ist: Man sucht nach der Anzahl an "Paaren" wie "G1,Z1", "G2, Z2" usw.
Mit Wiederholung, da für jede Ziehung die Zimmer wieder zur Verfügung stehen.
Ohne Reihenfolge, da egal ist ob "G1,Z1" oder "Z1,G1".

Wohl offensichtlich falsch...



2.
In einem Zimmer gibt es 5 Lampen, die unabhängig voneinander aus- und eingeschaltet werden können. Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass

 

a) genau 3 Lampen brennen?

Meine Idee:

Mit Wiederholung, da eine der 5 Lampen ja in verschiedenen Konstellationen brennen kann. Also Bei L1 - L5
könnte Lampe sowohl in "L1,L2,L3" als auch "L3,L4,L1" brennen.
Ohne Reihenfolge, da egal ob "L1,L2,L3" oder "L3,L2,L1".

Wohl auch falsch, denn das ergebnis ist 5 über 3 = 10.

Könnte mir jemand helfen zu verstehen, wo hier genereller Gedankenfehler ist? Ich glaube ich hab die Begriffe Reihenfolge und Wiederholung noch nicht ganz verstanden und/oder gehe solche Aufgaben anders falsch an. :(

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Zu 1. "Mit Reihenfolge" deshalb, weil alle Hotelgäste unterscheidbar sind. Jeder ist halt ein Individuum. Man stelle sich vor, die Hotelgäste stünden alle in einer Schlange, also in einer bestimmten Reihenfolge, vor der Rezeption. Dann macht schon einen Unterschied, ob
  • der dritte Gast Gast auf Zimmer 3 und der siebte Gast im Zimmer 7 residiert, oder
  • der dritte Gast Gast auf Zimmer 7 und der siebte Gast im Zimmer 3 residiert
"Ohne Wiederholung" deswegen, weil man jedes Zimmer nur einmal vergeben kann.

Man kann es sich auch noch anders überlegen: Die Hotelgäste stehen alle in einer Schlange. Der erste Hotelgast hat eine Auswahl vom 10 Zimmern, der Zweite eine Auswahl von 9 Zimmern,...,der siebte eine Auswahl von vier Zimmern. Also gibt es \(10\cdot9\cdot \ldots\cdot4 = 10!/(10-7)!\) Möglichkeiten.


Zu 2. Man stelle sich vor, alle 5 Lampen sind aus. Dann darf ich eine Lampe meiner Wahl anschalten, dann noch eine, und schließich eine dritte.Dann kommt jemand anderes daher und sieht drei von fünf Lampen leuchten. Kann der dann erkennen, ich welcher Reihenfolge ich die Lampen angeschalten habe? Nein, kann er nicht. Also: Ohne Reihenfolge.

Anders gefragt: Ist (L1,L2,L3) etwas anderes als (L3,L2,L1)? Wohl kaum.

Wenn ich eine Lampe angeschalten habe, kann ich diese Lampe dann nochmals einschalten? Nein, geht nicht! Also: Ohne Wiederholung.
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Erstmal danke für die Antwort!

Okay, ich glaube ich weiß jetzt wo mein Denkfehler liegt.. Man muss sich das also immer NACHEINANDER vorstellen. Halt wie bei den Urnen aus denen man NACHEINANDER eine Kugel zieht und sie dann zurücklegt oder nicht. Hat man alle gezogen, schaut man sich das Ergebnis an und guckt dann nach, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht. Kann man das so sagen?

Auf Aufgabe 2 bezogen:

Ich habe 5 Lampen in der Urne L1 - L5.
Erster Zug: L1
Zweiter Zug: L3
Dritter Zug: L5

Das wäre dann Möglichkeit 1 von 10.

Im nächsten Versuch dann z.B.
Erster Zug: L2
Zweiter Zug: L3
Dritter Zug: L1

Damit dann Möglicheit 2 von 10. Usw.
Ohne Wiederholung, da Lampe nur einmal brennen kann & ohne Reihenfolge, da diese halt egal ist und nicht vorgegeben wurde, dass z.B. L1 zuerst angeschaltet werden muss.







  ─   bigbsmallob 23.11.2023 um 19:09

Ja, häufig stellt man sich die Dinge gedanklich in einer Reihe auf. Und ja, ob "mit Reihenfolge" oder "ohne Reihenfolge" richtet sich danach, ob die Reihenfolge etwas am Ergebnis ändert.

Bestes Beispiel: Ziehen der Lottozahlen. Hier werden die Zahlen ja auch nacheinander gezogen. Die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, haben aber keinen Einfluss darauf, was das Ergebnis dieser Ziehung war, denn wird das Ergebnis bekannt gegeben, so werden die Zahlen aufsteigend sortiert.
  ─   m.simon.539 24.11.2023 um 02:21

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