Wenn du eine quadratische Gleichung löst (Wurzel ziehst) müssen Betragsstriche gesetzt werden, um auch mögliche negative Lösungen zuzulassen (die so nicht definiert sind). Normalerweise, also z.B. bei x²=\(\sqrt 4\), ist die Lösung \(\vert x \vert= 2\), bzw. dann aufgelöst x1=2 und x2=-2;

hier hast du aber auf beiden Seiten der Gleichung die Unbekannte p; bedeutet, beide Seiten müssen als Betrag geschrieben werden.

Betrag auflösen heißt, Klammer drumrum; wenn der Inhalt der Klammer positiv ist, ist es eine + Klammer, wenn nicht, ist es eine -Klammer und im Fall einer Summe (hier linke Seite) drehen sich alle Vorzeichen um. 

Beides (also ob der Inhalt der Klammer positiv oder negativ ist) muss für linke und rechte Seite der Gleichung kombiniert werden und führt dann jeweils zu einer Definitionsmenge für den jeweiligen Fall (4 Stück), die aber z.T. zusammenfallen oder sich gar nicht möglich sind.
Dann erst kommt es zur Lösungsmenge.

Wenn du dieses Vorgehen beachtest, kann aus \(\vert(1-p)\vert\)  niemals \(1+p\) werden, sondern entweder  \(+(1-p)=1-p\)  oder \( -(1-p)=-1+p\)

das p wird ja so oder so nicht positiv, ist ja in der Klammer

Es gibt 4 mögliche Fälle, von denen sich aber je 2 überschneiden.

Wir haben die Gleichung \((1-p)^2 = (3p)^2\), welche sich zu \(\pm (1-p) = \pm (3p)\) umformen lässt.
Dies lässt sich zu \(1-p = 3p \;\lor\; -(1-p) = -3p \;\lor\; -(1-p) = 3p \;\lor\; 1-p = -3p\) umformen, wobei offensichtlichtGleichung 1&2 sowie 3&4 äquivalent sind - die Gleichungen müssen je nur mit \((-1)\) multipliziert werden.