Deinen Fragetags entnehme ich, dass du bereits herausgefunden hast, dass du hier eine Binomialverteilung hast. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau \( k \) Radfahrer ankommen ist also
\( P(X=k) =  \binom{n}{k} p^k \cdot (1-p)^{200-k} = \binom{200}{k} 0,25^k \cdot 0,75^{200-k} \)
Diese Formel solltest du am besten auswendig können. In diesem konkreten Fall werden wir sie nicht brauchen, weil n=200 zu groß ist, aber meistens brauchst du diese Formel bei Binomialverteilungsaufgaben.
Nun wollen wir das k derart wählen, dass \( P(X\geq k) \leq 0,05 \).

Hier kommt für mich eine Frage: Welche technischen Hilfmittel habt ihr zur Verfügung? Ich habe das gerade im Taschenrechner ausprobiert und komme darauf, dass 62 die kleinste Zahl für k ist, sodass \( P(X\geq k) \leq 0,05 \) ist.
Jetzt ist es viel zu aufwendig solange die Werte \( P(X=k) \) für \(k=0,1,\ldots\) aufzusummieren, bis du endlich über 95% liegst. Wie gesagt, dass sind 62 Werte! Du weißt in der Prüfung natürlich nicht, dass 62 hier die richtige Lösung ist aber man kann sich bei \(n=200\) denken, dass es zu viele sind.

Die Aufgabe gibt dir hier einen Tipp "(mit einer geeigneten Approximation)". Das heißt du sollst hier nicht die Formel für die Binomialverteilung verwenden, sondern die Standardnormalverteilung.
\( P(X\leq k) \approx \Phi(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)} }) \)
Eine Wertetabelle für \(\Phi\) wird normalerweise mitgeliefert oder man nimmt einen Taschenrechner, der die Normalverteilung kann. Du schaust also nach, ab welchem t gilt \( \Phi( t) \geq  0,95 \). Und dann setzt du dieses t ein in \( \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)} } =t \) und löst nach k auf (die anderen Werte \(n\) und \(p\) hast du ja schon).

Nach dieser Tabelle https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle ist t = 1,65 der erste Wert bei dem \(\Phi(t)\geq 0,95\). Damit gilt
\( t \approx  \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}  } \Rightarrow 1,65 \approx \frac{k-200\cdot 0,25}{\sqrt{200\cdot0,25 \cdot0,75}  } \Rightarrow 1,65 \approx \frac{k-50}{6,12}\Rightarrow k\approx 60 \)



Je nachdem welche Hilfsmittel du verwenden kannst, kommst du also auf \( k=62 \) (exakte Lösung) oder \(k\approx 60\) (geschätzte Lösung).
Das Ereignis "mindestens 62 Fahrer erreichen die Zeit" kommt also zu unter 5% Wahrscheinlichkeit. Der Veransalter zahlt also zu unter 5% Wahrscheinlichkeit eine Geldsumme über 20€*62 = 1240€. Wenn er nun eine Teilnahmegebür von \( x = 1240€/200 = 6,20€ \) wählt, hat er seine Preisgelder wieder drin.

Diese Aufgabe war wirklich zeitintensiv ^^. Musste mich wieder in alte Stochastikfolien einarbeiten. Ich hoffe dieser Aufwand hat sich gelohnt und ich war dir eine Hilfe.

Beste Grüße

es gibt auch Werte für die Verteilung rechts bzw. links vom Erwartungswert, beidseitig (die Regel die du kennst) macht ja hier wenig Sinn; \(P(X\le\mu + 1,64\sigma)\thickapprox 0,95\); diese Formel wird hier (BW) aber gar nicht gelehrt; kommt jetzt darauf an, ob du Hilfsmittel benutzen darfst, und die Formel vll. in deiner Formelsammlung steht

"In der Lösung steht es sollen 6€ (eigentlich sogar: 6,01€) rauskommen. Die haben das auf jeden Fall ganz komisch gemacht, kann ich garnicht nach voll ziehen."
Auf die 6€ kommt man, wenn man für \( k=60 \) verwendet. Dann ist \( x=20€*60/200 = 6€ \). Ich habe dir ja erklärt, wie man auf die gerundete Lösung \( k\approx 60 \) kommt, habe aber mit der exakten Lösung \( k=62 \) weitergerechnet, weil ich nicht genau wusste, welche Hilfsmittel ihr zur Verfügung habt.
An der Differenz zwischen \(k\approx60\) und \(k=62\) kannst du übrigens wunderbar ablesen wie exakt die Lösung über die Standardabweichung ist.

"Und ich versteh leider nicht wie man auf die 0,05 kommen soll"
Die \( 0,05 \) ist aus der Aufgabe entnommen. Der Veranstalter will, dass er zu 95% genug Geld hat um die Gewinne auszuzahlen. Also muss ich sichergehen, dass die Wahrschenlichkeit, dass er die Menschen nicht auszahlen kann, kleiner ist als 5%.
Statt \( P(X\geq k) \leq 0,05 \) hätte ich auch schreiben können \( P(X\leq k) \geq 0,95 \). Das bedeutet das selbe.

"Warum kann man nicht die Standardabweichung mal 2 nehmen ? Das 2 Sigma entsprechen doch irgendwie 95%."
Wie kommst du darauf? Die Standardabweichung behandelt, wie weit die Personen im Durchschnitt von Erwartungswert entfernt sind. Sie behandelt nicht einmal, ob diese Entfernung vom Erwartungswert nach oben oder unten geht. Sie behandelt auch nicht, ob viele wenig abweichen oder wenige sehr stark.
Die 95% sind da jedenfalls nicht "drin".

"Also müssten es mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% 38 bis 62 Radfahrer ins Ziel schaffen."
Wie hast du hier gerechnet? Was bedeutet 38 bis 62 Radfahrer? Es ist schon interessant, dass hier eine 62 steht. Das ist ja die exakte Lösung aber ich kann die Rechnung nicht nachvollziehen und muss daher von einem Zufallstreffer ausgehen.
25 Radfahrer sind es jedenfalls nicht.