Cos(x) in einer Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt entwicklen?

Aufrufe: 877     Aktiv: 03.06.2020 um 16:42
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Moin,

habe ein Problem mit der Aufgabe.

 

In dem Fall ist der Entwicklungspunkt: \(x_0 = - pi/2 \)

Also ich weiß das die Potenzreihe von Cosinus ins Unendliche geht und ungefähr so aussieht:

\( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n  \frac {x^{2n}} {(2n!)}=\) und so weiter.

Aber wie macht man das um den Entwicklungspunkt und was für eine Art Ergebnis soll da herauskommen? Im Internet ist was von Entwicklungsstelle die Rede. Ist das das selbe?

Würde mich ein paar Anwtorten sehr freuen. :)

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Student, Punkte: 26

 
Ja, Entwicklungspunkt ist das gleiche wie Entwicklungsstelle.
Normalerweise solltest du aber keine Aufgaben gestellt bekommen, wo Begriffe vorkommen, die nicht behandelt wurden.   ─   digamma 03.06.2020 um 14:47
Okay, das ist gut zu wissen. thx   ─   quecksilva 03.06.2020 um 14:53
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2 Antworten
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Vom Punkt `x_0 = -pi/2` sieht die Kosinusfunktion aus wie eine Sinusfunktion.

Ich kann mir zwei Möglichkeiten vorstellen, wie die Aufgabe gemeint ist. Die eine ist die, auf die ich gerade verwiesen habe: Wie ändert sich die Reihe, wenn man den Entwicklungspunkt verschiebt?

Die andere Möglichkeit ist, dass du die Taylorreihe hinschreiben sollst. Also zunächst alle Ableitungen an der Stelle `-pi/2` ausrechnest und damit die Taylorreihe aufstellst.

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Mit der Taylor könnte es gut Möglich sein. Vorallem weil das in den Präsenzaufgaben vorkam.
Wie das formal geht muss ich mir noch überlegen.   ─   quecksilva 03.06.2020 um 14:54

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Im Endeffekt bestimmst du die Taylorreihe des Cosinus genauso wie, wenn der Entwicklungspunkt \(x_0=0\) wäre.

 

Du bestimmst zunächst \(f^{(n)}(x_0)\) und setzt das in die Definitionsgleichung für die Taylorreihe ein:

\(T_nf(x,x_0)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(x_0)\cdot\frac{(x-x_0)^n}{n!}\)

 

Wobei \(f^{(n)}(x_0)\) in diesem Fall wie folgt definiert ist:

\(f^{(n)}(x_0)=\left\{\begin{array}{c}0~~~~~für~n~gerade\\(-1)^n~für~n~ungerade\end{array}\right.\)

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Student, Punkte: 885

 
Wieso kann man einfach x0=0 einfach verwenden? Das habe ich nicht ganz verstanden. Und wie kann man das ganze formal aufschreiben. Gibt es da einen Antwrotsatz in irgendeiner Form? Danke für deine Hilfe.   ─   quecksilva 03.06.2020 um 14:58
In diesem Fall kannst du \(x_0=0\) natürlich nicht verwenden, da \(x_0=-\frac{\pi}{2}\)
Das Vorgehen ist aber identisch du setzt für \(x_0\) halt einfach nur nen anderen Wert ein.
(Bei vielen Aufgaben wird der Entwicklungspunkt ja mit \(x_0=0\) gegeben)   ─   smileyface 03.06.2020 um 15:05
Danke dir .Achso. dann muss ich schauen wie ich das genau einsetze. Bin mir noch unsicher wo genau das kommt. Ich versuche das mal.   ─   quecksilva 03.06.2020 um 15:27
Ich hätte da eine Frage. Und ywar kommt in der potenzreihe ja x-x0 geteilt durch n! das problem ist das mein x0 wert auch pi geteilt durch 2 ist. wie kann ich das in einem Bruch aufschreiben? Weil ja praktisch zweimal geteilt wird.   ─   quecksilva 03.06.2020 um 16:10
Achtung!
Es ist \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(x_0)\cdot\frac{(x-x_0)^{\color{red}{n}}}{n!}\) und das lässt du einfach so stehen damit brauchst du nicht weiter machen
Also:
\(T_nf(x,x_0)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(x_0)\cdot \dfrac{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^n}{n!}\)   ─   smileyface 03.06.2020 um 16:28
Vielen Vielen dank! Du hast mir sehr geholfen :D ja stimmt das hoch n hatte ich vergessen. ok ich werds so machen thx ^^   ─   quecksilva 03.06.2020 um 16:42

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