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Tatsächlich ist das sehr ungünstig formuliert. Es handelt sich hierbei nicht um einen Kreis, der im Raum liegt, sondern um den Rand einer Kugel. Man kann die Gleichung nämlich zu
\( (x+1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=(7\sqrt{2})^2 \)
umformen. Dies ist die Gleichung für den Rand der Kugel mit Mittelpunkt \( (-1,1,2) \) und Radius \( 7 \sqrt{2} \).
Wenn du selbst mal eine solche Gleichung aufstellen möchtest: Der Rand einer Kugel mit Mittelpunkt \( (m_1,m_2,m_3) \) und Radius \( r \) kann immer durch die Gleichung
\( (x-m_1)^2 + (y-m_2)^2 + (z-m_3)^2 = r^2 \)
beschrieben werden.
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42
Student, Punkte: 7.02K
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Dann ist das ja eigentlich nicht nur blöd formuliert, sondern falsch, oder? Das heißt dann ja, dass es keine Kreisgleichungen im Raum geben kann, oder?
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lisaaa333
18.11.2020 um 20:17
Jein. Es gibt da keine einheitliche Bezeichnung. Der Einheitskreis wird im Englischen oft mit "sphere" bezeichnet und abkürzend als \( \mathbb{S}^1 \) geschrieben. Alle höherdimensionalen Gebilde des gleichen Typs heißen dann auch wieder "sphere" und werden mit \( \mathbb{S}^2 \), \( \mathbb{S}^3 \), usw. bezeichnet. Im Englischen wird also auch oft für Kriesrand, Kugeloberfläche, usw. der gleiche Begriff verwendet. Man muss auch sagen, dass es bei Begrifflichkeiten auch kein richtig oder falsch gibt. Als Mathematiker kann man sich die Dinge immer so definieren wie man sie haben will. Und der Autor deines Buches hat offenbar festgelegt, dass alle \( \mathbb{S}^n \) als Kreise bezeichnet werden. Didaktisch unklug ist es (meiner Meinung nach) natürlich trotzdem.
Zur Kreisgleichung im Raum kann ich nicht viel sagen. Natürlich gibt es Kreise, die im Raum liegen, und die lassen sich auch durch Formeln oder in Vektorschreibweise beschreiben. Allerdings ist mir keine Koordinatenschreibweise mit nur einer einzigen Gleichung bekannt. Ich würde behaupten, dass das nicht geht, aber dazu müsste ich mir noch tiefergehende Gedanken machen. ─ 42 18.11.2020 um 20:37
Zur Kreisgleichung im Raum kann ich nicht viel sagen. Natürlich gibt es Kreise, die im Raum liegen, und die lassen sich auch durch Formeln oder in Vektorschreibweise beschreiben. Allerdings ist mir keine Koordinatenschreibweise mit nur einer einzigen Gleichung bekannt. Ich würde behaupten, dass das nicht geht, aber dazu müsste ich mir noch tiefergehende Gedanken machen. ─ 42 18.11.2020 um 20:37
Das paradoxe ist, dass in dem gleichen Buch auf der Seite vorher Kreis und Kugel erklärt werden und da die Kreisgleichung mit 2 Koordinaten und die Kugelgleichung mit 3 Koordinaten angegeben ist, so wie es ja eigentlich immer ist.
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lisaaa333
18.11.2020 um 21:23
Okay, also dann kann man schon sagen, dass das falsch ist :D
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42
18.11.2020 um 23:03
Ich kann mich zwar immernoch nicht recht damit anfreunden, dass man keinen Kreis im Raum als Gleichung darstellen kann, aber danke für deine Mühe!
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lisaaa333
19.11.2020 um 09:13
Hallo,
Du kannst einen Kreis im Raum als Schnittmenge von einer Kugel:
(x - x0)^2 + ( y - y0)^2 + (z -z0)^2 = R^2
und einer Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel ( x0 ,y0 ,z0 ) geht, darstellen.
Wenn man die Normale zu dieser Ebene kennt, mit Koordinaten a, b und c, dann hat die Ebene folgende Gleichung:
a(x - x0) + b( y - y0) + c( z -z0) = 0
Du hast dann ein Gleichungssystem zum Lösen, um die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt ( x0 , y0 ,z0 ) und Radius R , dieser Kreis liegt in der Ebene, die durch ihre Normale und den Mittelpunkt des Kreises definiert ist.
Gruß ─ elayachi_ghellam 19.11.2020 um 10:23
Du kannst einen Kreis im Raum als Schnittmenge von einer Kugel:
(x - x0)^2 + ( y - y0)^2 + (z -z0)^2 = R^2
und einer Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel ( x0 ,y0 ,z0 ) geht, darstellen.
Wenn man die Normale zu dieser Ebene kennt, mit Koordinaten a, b und c, dann hat die Ebene folgende Gleichung:
a(x - x0) + b( y - y0) + c( z -z0) = 0
Du hast dann ein Gleichungssystem zum Lösen, um die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt ( x0 , y0 ,z0 ) und Radius R , dieser Kreis liegt in der Ebene, die durch ihre Normale und den Mittelpunkt des Kreises definiert ist.
Gruß ─ elayachi_ghellam 19.11.2020 um 10:23
Damit sehen wir aber nur, dass es Kreise im Raum gibt und wie man sie konstruieren kann. Interessant wäre jetzt aber zu wissen (und ich glaube, darum ging es uns hier), ob sich ein Kreis im Raum auch mithilfe einer einzigen Polynomgleichung darstellen lässt, sprich: Sei \( K \) ein Kreis im \( \mathbb{R}^3 \). Existiert dann ein Polynom \( f \in \mathbb{R}[X,Y,Z] \) mit der Eigenschaft \( f(x,y,z)=0 \Leftrightarrow (x,y,z) \in K \)?
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42
19.11.2020 um 12:36
So eine einzige geschlosdene Gleichung in x, y und z , die einen Kreis im Raum beschreibt, gibt es nicht, genauso wie es auch keine allgemeine Gleichung einer Gerade im Raum nicht gibt.
Eine Gerade ist Schnittmenge zweier Ebenen
Ein Kreis ist Schnittmenge einer Sphere und einer Ebene. ─ elayachi_ghellam 20.11.2020 um 08:46
Eine Gerade ist Schnittmenge zweier Ebenen
Ein Kreis ist Schnittmenge einer Sphere und einer Ebene. ─ elayachi_ghellam 20.11.2020 um 08:46
Aber es ist auf jeden Fall auch interessant!
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lisaaa333
20.11.2020 um 12:33
Ja, ich finde es auch interessant. Intuitiv ist es irgendwie klar, dass es keine geschlossene Polynomgleichung für einen Kreis im Raum geben kann. Aber momentan fällt mir keine formale Begründung ein, warum das nicht gehen sollte. Vielleicht komme ich ja noch drauf.
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42
20.11.2020 um 14:05