Linearfaktoren bei Polynomfunktionen

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Wir sollten bei folgender Aufgabe eigentlich nur die Nullstellen herausfinden, allerdings kann man ja normalerweise mit Hilfe der Nullstellen die Linearfaktoren rausfinden, was  bei der Aufgabe aber irgenwie nicht funktioniert, deswegen wollte ich fragen, was ich falsch mache.

\(f(x)= 4x^{6}+2x^{2}+8-9x^{3}-3x^{6}-2x^{2}\)

nach Umformen und Substituiren bin ich darauf gekommen, dass die Nullstellen \(x_{1}=2 \) und  \(x_{2}=1 \) sind. Normalerweise konnte ich dann die Funktion in \(f(x)=(x-1)(x-2)\) umschreiben, was hier aber nicht funktioniert, allerdings verstehe ich nicht wieso.

 


Meine zweite Frage ist wahrscheinlich bisschen dumm, aber vielleicht kann mir trotzdem jemand helfen.
Bei folgender Aufgabe mussten wir die Mitternachtsformel benutzen, um die Nullstellen rauszufinden, damit wir dann mit Hilfe der Nullstellen wieder die Linearfaktoren rausfinden können.

\(f(x)=3x^{2}-7x+2\)

\(x_{1}=2\) und \(x_{2}=\frac{1}{3}\)

\( f(x)=3\cdot(x-2)(x-\frac{1}{3}) \)

Ich verstehe nicht ganz, wieso wir den Koeffizienten von \(x^{2}\) brauchen, also muss ich dann immer den Koeffizienten von x mit dem größten Exponenten hinschreiben und wann genau muss ich das, weil bei der Polynomdivision braucht man das, soweit ich weiß, nicht.

 

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Deine erste Funktion, zusammengefasst \(f(x)=x^6-9x^3+8\) lässt sich nicht komplett in Linearfaktoren zerlegen. Nach Polynomdivision durch \((x-1)(x-2)\) (die 2 Nullstellen, die du gefunden hast) bleibt \(x^4+3x^3+7x^2+6x+4\) übrig. Das hat keine reellen Nullstellen mehr, du kannst also nicht hoffen, es in mehr Linearfaktoren zu zerlegen. Du kannst es aber immer noch in quadratische Faktoren zerlegen, in diesem Fall in \((x^2+x+1)(x^2+2x+4)\). In dieser Form kannst du auch sofort sehen, dass keine Nullstellen mehr existieren. Über den reellen Zahlen ist es einfach so, dass nicht jedes Polynom eine Nullstelle hat, z.B. \(x^2+1\). Solche Polynome können dann natürlich nicht in Linearfaktoren zerlegt werden.

Bei der zweiten Funktion: Du siehst ja schnell, dass wenn du \((x-2)(x-\frac13)\) ausmultiplizierst, du nicht wieder auf \(f\) kommst. Allgemein ist es so, dass eine Funktion nicht eindeutig durch ihre Nullstellen bestimmt ist, sondern du die Funktion durch einen Vorfaktor noch beliebig strecken kannst. Deshalb musst du, wenn du die Linearfaktorzerlegung angeben willst, immer noch den Leitkoeffizienten (den Koeffizienten vor dem \(x\) mit der höchsten Potenz) davorschreiben.
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