Das gilt nur, wenn die Zahlen \(a\) und \(b\) das gleiche Vorzeichen haben. Wenn die unterschiedliche Vorzeichen haben, muss das nicht gelten. Nimm beispielsweise die Gleichung

\(9x-12y=21\).

Da erhält man mit dem euklidischen Algorithmus die Lösung \(x=-7,y=-7\).

Nehmen wir nun an, dass \(a>0\) und \(b>0\). Dann bestimmt man ja mit dem euklidischen Algorithmus \(g=ggT(a,b)\) sowie zwei ganze Zahlen \(u,v\) mit \(au+bv=g\). Da ja aber \(g\leq a\) und \(g\leq b\), können nicht beide Zahlen \(u,v\) positiv sein. Denn dann wäre \(ua+vb\geq ug+vg\geq g+g >g\). Also muss eine von den beiden Zahlen \(u,v\) negativ und die andere positiv sein. Dass nicht beide negativ sein können ist ja klar, da dann \(ua+vb\) auch negativ wäre. 

Die Lösung der diophantischen Gleichung ist ja gegeben durch \(x_1=u\frac{c}{g}\) und  \(y_1=v\frac{c}{g}\) und da \(u\) und \(v\) unterschiedliche Vorzeichen haben, haben damit auch \(x_1\) und \(y_1\) unterschiedliche Vorzeichen.

Anmerkung 1: Das Ganze gilt nur, wenn \(a\) und \(b\) nicht Vielfache voneinander sind. In dem Fall, ist nämlich \(u\) oder \(v\) gleich \(0\). 

Anmerkung 2: Für den Fall \(a<0\) und \(b<0\) gilt das Gezeigte ganz genau so.