Basiswechsel mit Ursprung - Wie erhält man den neuen Ursprung?

Aufrufe: 449     Aktiv: 02.07.2021 um 17:30
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Hallo,

ich habe eine etwas allgemeinere Frage: Im Internet gibt es viele Informationen bezüglich des Basiswechsels, jedoch habe ich bisher keine Beispiele gefunden, bei denen ein konkreter Ursprung neben den Basisvektoren angegeben ist. Deswegen bin ich mir nicht sicher, wie man einen Ursprung der nicht der Nullvektor ist, ins neue Koordinatensystem mitnimmt. Meine Idee wäre gewesen, die Basiswechselmatrix zu bilden und dann die Basiswechselmatrix dem alten Ursprung zu multiplizieren, um den Ursprung bezüglich der neuen Koordinaten zu erhalten. Ist das möglich?

Ich freue mich auf Antworten.

Freundliche Grüße
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Ein Basiswechsel verändert nicht den Ursprung, bzw. haben Vektorräume gar keinen Ursprung, sondern einen Nullvektor, welcher eindeutig bestimmt ist. Du darfst dir also einen Vektorraum nicht (nur) als Koordinatensystem vorstellen. Das was du beschreibst nennt sich affine Räume. Hierbei addiert man einen Vektor \(p\in V\) zu jedem \(v\in U \leq V\) und erhält so einen affinen Raum \(\tilde{U}=p+U\). Auch hat eine Basis nichts mit dem Ursprung zu tuhen.
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Danke für deine Antwort, jedoch hat mir das nicht weitergeholfen. In unserem Aufgabenblatt geht es um eine Koordinatentransformation. Dort ist ein affines Koordinatensystem F gegeben, also die Identität von F in der Standardbasis E. Nun soll das ganze umgekehrt werden, die Identität von E soll in F dargestellt werden. Nun hat F aber einen Ursprung ungleich des Nullvektors. In der Lösung ist dieser Ursprung dann auch nicht mehr der gleiche und meine Frage ist es nun, wie man den Ursprung bei einer solchen Abbildung von E nach F korrekt erhält. Da der Ursprung ein Vektor ist, dachte ich wie gesagt dass ich ihn über die Abbildungsmatrix transformieren kann. Hoffe du kannst mir das beantworten.

Freundliche Grüße   ─   yocaaza 02.07.2021 um 17:16
So hört sich das doch nach einer viel sinnvoller Situation an. Dieses Problem kannst du tatsächlich durch eine Transformationsmatrix lösen. In deiner Frage hat es sich für mich so angehört, als möchtest du die affinität eines Raumes ändern. Aber es geht ja nur um die Darstellung der Identität.   ─   mathejean 02.07.2021 um 17:30

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