Empirische Quantile von gruppierten Daten lassen sich lediglich über gewisse Annahmen schätzen. Da jene nicht mit angegeben sind, kann man über den exakten Ergebniswert gut streiten. Auch ich halte das diskutierte Resultat von 5 Minuten für besser, allein schon weil es ohne sinnbefreite Genauigkeit auskommt. Um aber auf den angeführten Lösungswert zu kommen, ließe sich mit folgender Rechnung argumentieren:

Die Untersuchung weist einen Gesamtumfang $n$ von 120 Studierenden auf bzw. deren Zeiten des Eintreffens vor Klausurbeginn. Gesucht ist das empirische 10%-Quantil $x_{0.1}$.

Das Produkt  $np=120\cdot 0.1=12$  ist ganzzahlig, was die folgende Quantil-Definition motiviert:

\( x_{0.1}= \frac 1 2 (x_{np} + x_{np+1} ) = \frac 1 2 (x_{12} + x_{13}) \)

Weiters werden für die einzelnen Gruppen diskrete Gleichverteilungen angenommen.
Damit lassen sich nun $x_{12}$ und $x_{13}$ über den folgenden Ausdruck linear interpolieren:

\( x_k = u_j + \frac{o_j - u_j}{h_j}\cdot (k- H_{j-1}) \)    mit  $j$  sodass    \( H_{j-1} < k \leq H_j\)
und
$u_j$ ... untere Gruppengrenze der Gruppe $j$
$o_j$ ... obere Gruppengrenze der Gruppe $j$
$h_j$ ... absolute Häufigkeit der Gruppe $j$
$H_{j}$ ... kummulierte Häufigkeit der Gruppe $j$

Einsetzen ergibt:
\( x_{12} = u_2 + \frac{o_2 - u_2}{h_2}\cdot (12- H_{1}) = 1 + \frac{5 - 1}{10}\cdot (12- 2) = 1+4 =5\)
\( x_{13} = u_3 + \frac{o_3 - u_3}{h_3}\cdot (13- H_{2}) = 5 + \frac{10 - 5}{55}\cdot (13 - 12) = 5+\frac{5}{55} =5.\overline{09} \)

Und schließlich:
\( x_{0.1}= \frac 1 2 (x_{12} + x_{13}) = \frac 1 2 (5 + 5.\overline{09}) = 5.0\overline{45} \approx 5.045 \)