Wie beweise ich dass folgende aussage über die Natürlichen Zahlen gilt?

Aufrufe: 620     Aktiv: 26.01.2021 um 16:30
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Hallo Zusammen

Ich müsste folgende Aussage über die Natürlichen Zahlen beweisen, bin mir jedoch nicht ganz sicher ob das so genug ist, da es mir noch irgendwie unvollständig/falsch scheint.

Könnte sich das jemand kurz anschauen und mir auf die Sprünge helfen? ich wäre euch dafür wirklich sehr dankbar.

 

 

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Student, Punkte: 1.77K

 
so wie du das geschrieben hast, ist ja eigentlich noch gar nicht klar, dass \(k \in \mathbb{N}\). fällt dir dazu eine begründung ein?   ─   b_schaub 25.01.2021 um 15:43
aber ist das nicht wegen der Definition der Binomialkoeffizienten?   ─   karate 25.01.2021 um 16:23
ja prinzipiell schon, aber nur dann auf offensichtliche weise, wenn man sich eine andere als die bruch-definition vom binomialkoeffizienten anschaut   ─   b_schaub 25.01.2021 um 16:25
okei sehe jetzt nicht genau auf was du hindeuten möchtest. Würde das denn heissen, dass ich nur noch eine andere definition für den Binomialkoeffizienten notieren müsste und dann wäre der Beweis akzeptabel?   ─   karate 25.01.2021 um 16:32
worauf ich hindeute, ist dass es eine analytische und eine kombinatorische definition vom binomialkoeffizienten gibt. beides schreibt man als \(\binom{n}{k}\), aber ist nicht auf offensichtliche weise das selbe. die aufgabe zielt also darauf ab, die äquivalenz dieser beiden definitionen zu zeigen, was dann eben das \(k \in \mathbb{N}\) automatisch implizieren würde, weil bei der kombinatorischen definition offensichtlich immer eine natürliche zahl herauskommen muss.   ─   b_schaub 25.01.2021 um 17:36
okei also wir hatten wie gesagt nur die definition von unten, sehe also immer noch nicht ganz wie ich das zeigen muss   ─   karate 25.01.2021 um 18:49
du hast doch damit 2 definitionen, und zwar einmal die kombinatorische durch die anzahl der k elementigen teilmengen einer n elementigen menge und dann noch die analytische durch \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\). du musst nun also zeigen, dass beide sichtweisen äquivalent sind.   ─   b_schaub 25.01.2021 um 19:58
und wie mache ich das? sorry stehe auf dem Schlauch.   ─   karate 25.01.2021 um 20:44
ja super danke   ─   karate 26.01.2021 um 16:30
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Ich denke auch, dass du voraussetzen kannst dass klar ist, dass der Binomialkoeffizient eine natürlich Zahl ist. Zumindest für \( n>0, m,n\in \mathbb{N} \).

Im letzten Schritt würde ich das aber vielleicht nochmal erwähnen, dass weil \( k \in \mathbb{N} \) diese Beziehung gilt.

Und ich würde nochmal den Sonderfall anschauen! Also \( m=n=0 \). Stell sicher, dass er genauso funktioniert und wenn nicht musst du ihn explizit zeigen. Weil oben steht \( m,n \in \mathbb{N}_{0} \).

Sonst ist dein Beweis logisch und vollständig.

Viele Grüße, jojoliese

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Student, Punkte: 2.16K

 
Naja, also ich hatte am Anfang meines Studiums zum Teil so einfache Beweise, um die Grundstruktur und den Grundgedanken der Logik zu lernen.
Aber vielleicht hast du auch Recht.   ─   jojoliese 25.01.2021 um 16:43
Hmm okei viele verschiedene Meinungen. Nehmen wir an ich müsste wirklich zeigen, dass der Binomialkoeffizient wirklich eine natürliche Zahl ist. wie müsste ich dann die Aufgabe angehen? denn einen anderen Weg kommt mir irgendwie nicht in den sinn   ─   karate 25.01.2021 um 16:45
Dann kannst du deinen Beweis so lassen aber musst eben noch zeigen, dass für alle \( m,n \in \mathbb{N}_{0} \) der Binomialkoeffizient eine natürliche Zahl ist   ─   jojoliese 25.01.2021 um 16:46
also wir hatten die Teilbarkeit so definiert für \(m,n \in \mathbb{N}\) existiert ein \(k \in \mathbb{N}\) mit \(n=m \cdot k\) folgt dann nicht direkt aus meiner zweiten Zeile, dass \(k \in \mathbb{N}\) sein muss und daher per Konstruktion auch \(\binom{n}{k}\)?   ─   karate 25.01.2021 um 16:51
die einzige andere Idee die ich noch hätte wäre es mit einem Wiederspruchsbeweis zu versuchen, aber sonst fällt mir irgendwie nichts anderes ein.   ─   karate 25.01.2021 um 16:53
ich bin im ersten Semester.   ─   karate 25.01.2021 um 16:54
Also wir haben den Binomialkoeffizienten nur so eingeführt:
Sei \(X\) eine endliche Menge mit \(|X|=n \geq 0\) und \(k \geq 0\). Man schreibt \(\binom{n}{k}\) für die Zahl der k elementignen Teilmengen von \(X\).
mehr haben wir nicht   ─   karate 25.01.2021 um 16:57
Nein das folgt nicht direkt ... Ohne weitere Voraussetzungen zumindest nicht..

Falls du die Gelegenheit und Zeit noch hast frag doch einfach Mal nach was du alles voraussetzen darfst. Ich hätte im ersten Semester nicht gefragt zu beweisen, dass der Binomialkoeffizient natürlich ist!   ─   jojoliese 25.01.2021 um 16:58
okei ja ich sehe nun Deinen Punkt. Leider ist es ein wenig knapp noch zu fragen, aber ich schaue es mal mit meinen Mittstudenten an. Vielen Dank trotzdem und ja wenn so etwas kommen würde würde ich halt das voraussetzen und evt. nicht die volle Punktzahl bekommen aber lieber etwas als gar nichts.   ─   karate 25.01.2021 um 17:02
Tut mir leid, das ist bestimmt nicht so befriedigend ':D du findest online Beweise dafür dass der Binomialkoeffizient natürlich ist, die sind gar nicht so trivial.
Du hast auf jeden Fall nichts dastehen was falsch ist! Höchstens eben unvollständig   ─   jojoliese 25.01.2021 um 17:06
kein Problem danke trotzdem für deine Hilfe.   ─   karate 25.01.2021 um 17:10

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