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Hier die Schritte, wie bei dieser Art von Aufgaben vorgegangen werden muss:
1. Allgemeiner Funktionsterm
Den allgemeinen Term für f mit Variablen formulieren.
Bei Polynomen sind die Variablen die Koeffizienten - d.h. die Faktoren vor den Potenzen von x - zzgl. einer Konstanten. Z.B. der allgemeine Funktionsterm für ein Polynom 3. Grades (d.h. maximal x hoch 3) lautet \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
Spezialfall: Wenn in der Aufgabenstellung steht, dass es eine "gerade" oder "ungerade" Funktion sei, bedeutet dies \(f(-x) = f(x)\) bzw. \(f(-x) = -f(x)\) und hat zur Folge, dass die Funktion nur gerade bzw. nur ungerade Potenzen hat! (Achtung: die Konstante im Polynom - also die Variable die ohne x "da steht" - gehört in dem Fall zu einer geraden Potenz, da man sich \(x^0\) davor denken muss.
2. Eigenschaften in Bedingungen übersetzen
ALLE Angaben in Bedingungen formulieren und jede mit einer römischen Zahl versehen (I, II, III und IV).
Jede Bedingung ist dann eine Gleichung und mit den römischen Zahlen bildet es ein sogenanntes "Gleichungssystem".
Die Bedingungen ergeben sich daraus, dass diese Art von Aufgabe das Gegenteil der Kurvendiskussion ist, z.B. Bedingung von Extremum an der Stelle x ist f'(x)=0. Am besten wäre, wenn man für die diversen Eigenschaften im Unterrichte eine Liste bekommt, man kann solche Aufstellungen aber auch im Internet finden, hier meine Liste - wobei die gelb Markierten die Wichtigsten sind:
| Der Graph der Funktion … | Bedingung(en) |
| (Punkte) | |
| … geht durch den Punkt P(2|7) | f(2) = 7 |
| … schneidet die y-Achse bei 5 | f(0) = 5 |
| … schneidet die x-Achse bei 3 | f(3) = 0 |
| … geht durch den Ursprung | f(0) = 0 |
| (Extrema) | |
| … hat an der Stelle x=4 einen Extrempunkt | f′(4) = 0 |
| … hat einen Extrempunkt auf der y-Achse | f′(0) = 0 |
| … berührt die x-Achse an der Stelle x=2 |
f(2) = 0 f'(2) = 0 |
| (Tangenten) | |
| … hat an der Stelle x=3 eine Tangente mit der Steigung 2 | f′(3) = 2 |
| … hat an der Stelle x=4 eine waagerechte Tangente | f′(4) = 0 |
| … berührt an der Stelle x=1 die Funktion g, die an dieser Stelle die Steigung -1 hat | f′(1) = -1 |
| (Wendestellen) | |
| … hat einen Wendepunkt auf der y-Achse | f′′(0) = 0 |
| … hat an der Stelle x=1 einen Wendepunkt | f′′(1) = 0 |
| … hat bei x=2 eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung 4 |
f'′(2) = 0 f′(2) = 4 |
| … hat an der Stelle x=2 einen Sattelpunkt (bzw. Terassenpunkt) |
f′(2) = 0 f′′(2) = 0 |
3. Funktionsterm in Bedingungen einsetzen
Den Funktionsterm auf die Bedingungen anwenden, also f mit dem allgemeinen Term aus 1. in den Gleichungen ersetzen. D.h. z.B. für f(2) das x im Funktionsterm mit 2 ersetzen.
Wichtig: Dabei die gleichen römischen Zahlen zu der jeweiligen Gleichung schreiben, sonst ist nicht klar, was da passiert.
Damit erhält man ein Gleichungssystem mit genauso vielen Gleichungen wie Unbekannten, weshalb es eine eindeutige Lösung (wenn kein Fehler drin ist) für die Variablen gibt!
4. Werte der Koeffizienten berechnen
Jetzt dieses Gleichungssystem lösen mit den Verfahren, die durchgenommen worden sind (Additions-, Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren). Wenn unklar, dann empfehle ich das Einsetzungsverfahren - das ist immer möglich und die anderen können verwirren.
Das Einsetzungsverfahren habe ich hier geschildert: Hier der Link zum Artikel "Einsetzungsverfahren"
Zum Schluss den Funktionsterm aufschreiben (d.h. "f(x) = ..."), in dem man die Variablen in der allgemeinen Form von f mit ihren berechneten Werten ersetzt.
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