Matrizen - Spiegelung, Drehung, Scherung

Erste Frage Aufrufe: 185     Aktiv: 12.11.2023 um 14:51

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Betrachten Sie Elementarmatrizen A ∈ Mat(2, R) und die zugehörigen linearen Abbildungen LA : R2 → R2.
1. Für welche A is LA eine Spiegelung.
2. Für welche A is LA eine Drehung.
3. Für welche A is LA eine Scherung.

Gerne mit Vorgehensweise
gefragt

Punkte: 12

 

Lösungen gibt es hier nicht geschenkt. Nicht einmal eigene Ideen?   ─   cauchy 10.11.2023 um 20:23

Nein, hatte das Thema in der Schule nicht und es wurde vorausgesetzt, dass wir es kennen. Das Internet hat mir auch leider nicht weiter geholfen.   ─   userd705d0 10.11.2023 um 21:14

Warum hat das Internet nicht geholfen? Welche Webseiten hast Du gefunden und gelesen und durchgearbeitet?   ─   mikn 10.11.2023 um 23:00

Verschiedene Lernvideos auf YouTube, Skripte von Universitäten…   ─   userd705d0 11.11.2023 um 11:35

Genau welche, und welche konkrete Fragen dazu hast Du? Wir brauchen eine Ansatzpunkt für Hilfe. Deine Frage oben, auch mit Vorgehensweisen, findest Du auf unzähligen Internetquellen beantwortet, und es macht ja keinen Sinn, dass wir hier eine davon abschreiben.   ─   mikn 11.11.2023 um 11:49

Also ich hatte mir beispielsweise die Videos von Daniel Jungs angeguckt, aber auch von StandMathe und Studyflix. Die Skripte der TU Wien, TU Chemnitz .... Ich weiß allerdings nicht oder ich verstehe nicht, wie ich das auf A und LA anwenden kann bzw. muss. Also wie man dabei vorgeht.   ─   userd705d0 11.11.2023 um 12:03

Ganz konkret: Welches Video (URL), welche Stelle (timestamp), welche Frage dazu? Entsprechend mit Skript. Mit "das anwenden" kommen wir nicht weiter. Wir wissen nicht wo Du stehst. Vlt weißt Du noch nicht mal, was eine Matrix ist, was A, LA bedeutet usw.   ─   mikn 11.11.2023 um 12:25

https://www.youtube.com/watch?v=Enj_IYsPfc8 ca. Minute 4.
An dieser Stelle wird gezeigt, wie das Muster für eine Drehmatrix und eine Spiegelmatrix ist. Aber ich stehe auf dem Schlauch, wie ich damit jetzt A bestimmten kann.
  ─   userd705d0 11.11.2023 um 16:44
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2 Antworten
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Zu jeder linearen Abbildung $LA:R^2\longrightarrow R^2$ gehört eine 2x2-Matrix $A$. Die Aufgabe lautet, wie sieht $A$ aus, wenn $LA$ eine Drehung ist? Das ist z.B. in diesem Video an der genannten Stelle erklärt.
Beachte: $LA$ ist eine Abbildung, also z.B. Drehung. $A$ ist keine Abbildung, sondern eine Matrix, die mit der Abbildung über $LA(x)=A\,x$ verbunden ist.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.49K

 

Also ist die Spiegelmatrix einfach
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0 -1
und die Drehmatrix
1 0
0 1 ?
  ─   userd705d0 11.11.2023 um 18:20

Dann würde es ja nur eine Spiegelung und eine Drehung geben. Es gibt nicht DIE Spiegelung und DIE Drehung. Hast du überhaupt verstanden, was eine Drehung ist? Im Video ist alles erklärt.   ─   mikn 11.11.2023 um 18:42

Ja, das habe ich verstanden. Aber ich muss auch zugeben, dass ich bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch stehe und ein wenig verwirrt bin.
Aber aus dem Video würde ich nun schließen, dass die Drehmatrix
A = cos (α) -sin(α)
sin(α) cos(α)
ist und die Spiegelmatrix
A = cos(α) sin(ç)
sin(α) -cos(α)
ist.
Dem Skript von https://www.mathematikselberlernen.de/Mathematik/Skripte/Matrizen.pdf S.91 würde ich dann entnehmen, dass die Schermatrix
A = 1 tan(α)
0 1
ist. Also ist für dieses A LA eine Scherung. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist das die Lösung?
  ─   userd705d0 12.11.2023 um 14:05

Drehung, Spiegelung: ja.
Scherung: Die von Dir genannte Matrix ist nur ein Beispiel (steht auch im Skript so). Das ist die Scherung entlang der x-Achse, einfache Form $A=\begin{pmatrix}1 & m\\ 0 &1\end{pmatrix}$. Die Scherung entlang der y-Achse hat die Form $A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ m &1\end{pmatrix}$.
  ─   mikn 12.11.2023 um 14:39

Vielen Dank
  ─   userd705d0 12.11.2023 um 14:51

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Das ist eine reine Rechercheaufgabe, sich das selber zu 100% erarbeiten ist hier mMn nicht gefragt. Was du im Prinzip aber hier uns fragst ist: Google es doch für mich! Eine kurze Recherche ergibt, dass die in  b) gefragten Drehungen alle die Form  

$$A_{\phi}:= \begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin{\phi}  \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}$$

für eine Parameter $\phi \in [0,2 \pi)$ haben. Ich habe hier übrigens den allerersten Googletreffer genommen und ich habe einfach nur "Drehungen um R^2" gegoogelt.

 

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