Bild einer Abbildung bestimmen?

Aufrufe: 973     Aktiv: 07.02.2019 um 19:40

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Guten Tag, wie kann ich bei Aufgabe 1c) das Bild der Abbildung bestimmen?

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Student, Punkte: 83

 
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Hallo,

bei der c) hast du eine Abbildung \( f : \ Mat(2 \times 3, \mathbb{R}) \to Mat(3 \times 3, \mathbb{R}) \)
Wir haben also eine Abbildung die aus einer \( (2 \times 3)-\)Matrix eine \( (3 \times 3)-\)Matrix macht.
Unsere Abbildung selbst ist somit eine \( (3 \times 2)-\)Matrix, wie oben angegeben \( ( 3 \times 2 \cdot 2 \times 3 = 3 \times 3 ) \)

Nun nehmen wir uns eine \( (2 \times 3)-\)Matrix her

\( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \)

Multiplizieren wir diese Matrix mit unsere Abbildung, erhalten wir die Lösungsmatrix. Die Lösung kannst du jetzt wieder auffächern, in eine Summe aus Matrizen mit den jeweiligen Buchstaben als Vorfaktoren.
Du wirst sehen das immer jeweils zwei dieser Matrizen linear abhängig zueinander sind. Die übrigen linear unabhängigen Matrizen spannen deinen Bildraum auf.

Im Kern befinden sich alle Matrizen, die durch die Abbildung auf die Nullmatrix abbilden. Also setzt du deine Lösungsmatrix von vorhin gleich der Nullmatrix. Dadurch erhälst du \( 6 \) Gleichungen. Dadurch schaffst du es \( 3 \) Parameter zu eliminieren. Die Lösungen deiner Parameter setzt du wieder in die ursprüngliche \( (2 \times 3)-\)Matrix ein und spaltest diese Matrix wieder in eine Summe auf. Die resultierenden Matrizen spannen dann deinen Kern auf.

Grüße Christian

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Hallo Christian


 


Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort, hat mir extrem geholfen.


 


Grüsse Christian

  ─   chrugi 08.02.2019 um 14:41

Das freut mich zu hören. :)


Grüße Christian

  ─   christian_strack 09.02.2019 um 16:01

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Du setzt die Einheitsvektoren ein ( Multiplizierst also deine Matrix einmal mit dem ersten und einmal mit dem zweiten Einheitsvektoren). Die 3d Vektoren spannen dir dann den Bildraum auf.

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