Die natürlichen Zahlen bilden keine Gruppe, weil die Inversen Elemente keine natürlichen Zahlen sind. Aber (Z, +) bildet eine Gruppe, weil dann die inversen Elemente dazugehören. Auch die 0 hat ein inverses Element, nämlich sich selbst. Es gilt 0 + 0 = 0 (Null ist das neutrale Element). 
Es ist auch wichtig welche Verknüpfung du betrachtest. (Z, \(\cdot\)) (also "Mal" als Verknüpfung) ist keine Gruppe. Wieder weil die inversen Elemente nicht in Z enthalten sind. Das neutrale Element ist jetzt nämlich 1, und wenn du z.B 5 gegeben hast, dann wäre das Inverse Element ⅕, weil 5 Mal ⅕ = 1 ist. Aber ⅕ ist ja nicht in Z.

Genau richtig. Die natürlichen Zahlen mit der Addition bilden keine Gruppe, da die inversen Elemente nicht in den natürlichen Zahlen sind.