Hallo zusammen, ich habe wieder einmal eine Übung, bei der ich nicht zurecht komme: Für welche reellen Werte von m besitzt das Trinom $x^{2}+x+m-1$ zwei strikt negative Nullstellen.

Meine erste Vorgehensweise war, die Nullstellen zu bestimmen, wobei beide negativ sein müssen: $-\frac{1}{2}\pm \sqrt{ \frac{1}{4}-m+1}<0$

Das ergibt aber durch Lösen mittels Quadrieren jeweils; $m<1$ und $m>1$. Irgendwie ist das etwas befremdlich.

Schaue ich mir den Plot mittels Geogebra an (hier der Link), kann ich erkennen, dass tatsächlich der eine Grenzwert $m>1$ richtig ist und ich für den zweiten berechnen muss, wann es nur noch eine Nullstelle gibt.

Also meine zweite Berechnung: $-\frac{1}{2}+\sqrt{ \frac{1}{4}-m+1}=$$\frac{1}{2}-\sqrt{ \frac{1}{4}-m+1}$. Das ergibt tatsächlich den Grenzwert $m=\frac{5}{4}$.
Gut, ich habe die Lösung gefunden, aber durch den Plot, nicht durch mathematisches Denken. Meine Fragen sind dann auch:

1. Wieso ist die Berechnung der (merkwürdigen) Nullstellen tatsächlich die eine Lösung?
2. Wie kann ich bei einem Test oder einer Prüfung erkennen, dass ich genau die Vorgehensweise (Nullstellen per Quadrieren, gleichstellen der beiden Nullstellen) gehen muss? Da fehlen mir irgendwie die theoretischen Kenntnisse.

Vielen Dank für Eure Erklärungen zu meinen Fragen.

Beste Grüße aus dem deutschsprachigen Belgien.
Marc