Trinom. Funktion: Parameter m bestimmen bei

Aufrufe: 97     Aktiv: 09.09.2021 um 11:14

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Hallo zusammen, ich habe wieder einmal eine Übung, bei der ich nicht zurecht komme: Für welche reellen Werte von m besitzt das Trinom $x^{2}+x+m-1$ zwei strikt negative Nullstellen.

Meine erste Vorgehensweise war, die Nullstellen zu bestimmen, wobei beide negativ sein müssen: $-\frac{1}{2}\pm \sqrt{ \frac{1}{4}-m+1}<0$

Das ergibt aber durch Lösen mittels Quadrieren jeweils; $m<1$ und $m>1$. Irgendwie ist das etwas befremdlich.

Schaue ich mir den Plot mittels Geogebra an (hier der Link), kann ich erkennen, dass tatsächlich der eine Grenzwert $m>1$ richtig ist und ich für den zweiten berechnen muss, wann es nur noch eine Nullstelle gibt.

Also meine zweite Berechnung: $-\frac{1}{2}+\sqrt{ \frac{1}{4}-m+1}=$$\frac{1}{2}-\sqrt{ \frac{1}{4}-m+1}$. Das ergibt tatsächlich den Grenzwert $m=\frac{5}{4}$.
Gut, ich habe die Lösung gefunden, aber durch den Plot, nicht durch mathematisches Denken. Meine Fragen sind dann auch:

  1. Wieso ist die Berechnung der (merkwürdigen) Nullstellen tatsächlich die eine Lösung?
  2. Wie kann ich bei einem Test oder einer Prüfung erkennen, dass ich genau die Vorgehensweise (Nullstellen per Quadrieren, gleichstellen der beiden Nullstellen) gehen muss? Da fehlen mir irgendwie die theoretischen Kenntnisse.

Vielen Dank für Eure Erklärungen zu meinen Fragen.

Beste Grüße aus dem deutschsprachigen Belgien.
Marc

 

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2 Antworten
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Die Lösung, beide Nullstellen gleichzusetzen (es fehlt ein Minus vor dem rechten 1/2) führt zu EINER Nullstelle, d.h. für m=5\4  liegt ein Berührpunkt mit der x- Achse vor, die Diskriminante ist Null
Sie darf nicht negativ werden, somit  muss 

m=1 bedeutet, die Parabel ( f(x)=x2+x) hat die Nullstellen -1  und 0 (nicht negativ),
würde man m>1 wählen, verschöbe man die Parabel nach oben, die Nullstellen würden sich aufeinander zubewegen, m=5/4   darf dabei nicht erreicht werden.
Für m<1 wird der Abstand der Nullstellen größer,  d.h. die rechte wandert in den positiven Bereich. 

Somit ist $1<m<\frac{5}{4}$
aber es stellt sich die Frage, ob man die neutrale Null auch zum negativen Bereich zählen darf (bei solchen Fragen gibt es hier ja immer Kontroversen) dann wäre m=1 noch möglich.



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In meiner Lesart ist "zwei strikt negative Nullstellen" erfüllt, wenn x1=x2=-0.5 ist. Wieder eine nicht ganz klare Aufgabenstellung.
Und 0 mag man als negativ ansehen (tue ich eher nicht), aber nicht als "strikt negativ".
  ─   mikn 08.09.2021 um 16:25

Im Layout ist ein bug, in der Vorschau nicht, lässt sich nicht korrigieren, auch im Kommentar nicht.   ─   monimust 08.09.2021 um 16:34

@mikn, strikt negativ schließt die Null aus, stimmt aber wenn extra zwei dasteht, gehe ich von 2 verschiedenen Nullstellen aus, sonst würde ich " nur negative Nullstellen" formulieren   ─   monimust 08.09.2021 um 16:45

Hallo zusammen,
ja, alles was ihr schreibt ist natürlich richtig, beantwortet aber meine Frage nicht wirklich, denn die Lösungen hatte ich gefunden.
Die Fragen waren:
- Woher kommen die merkwürdigen Berechnungen $m <1$ und $m>1$ bei Nutzung der pq-Formel? Ist das die Quadrierung?
- Wie kann ich in einem Test/Prüfung herausfinden, dass ich erst mit pq-Formel und dann noch mittels Gleichstellung der Nullstellen arbeiten muss. Dort kann ich nicht über einen Plot "testen", wie ich vorgehen muss. Also eher eine theoretische Frage.

Vielen Dank allen für Eure geschätzten, fundierten Antworten und Kommentaren.
  ─   lefagnard 09.09.2021 um 10:31

Vielleicht hilft es, zu wissen, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, d.h. es können Lösungen dazukommen, die keine sind. Daher muss man sie immer zur Probe einsetzen.   ─   monimust 09.09.2021 um 11:01

Danke @monimust   ─   lefagnard 09.09.2021 um 11:14

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-1
\(\sqrt{\frac{1}{4}-m+1}<\frac{1}{2}\iff 0<\frac{1}{4}-m+1<\frac{1}{4}\iff 0<-4m+5<1\iff -5<-4m<-4\)
\(\iff\frac{5}{4}>m>1\)
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Die letzte Umformung stimmt nicht.   ─   mikn 08.09.2021 um 14:38

m muss kleiner als 5/4 sein und auch GRößEr ( nicht kleiner ) als 1. Also insgesamt zwischen 1 und 5/4   ─   scotchwhisky 08.09.2021 um 14:39

Nein, auch das stimmt nicht (nur zur Hälfte).   ─   mikn 08.09.2021 um 14:43

So jetzt fehlt noch die Korrektur in obiger Lösung, dass anstelle von $>0$ auch $\ge 0$ reicht, mit entsprechenden Folgen, dann haben wir's.   ─   mikn 08.09.2021 um 15:03

@gerdware
Wenn ich Dich richtig verstehe, arbeitest du mit der einschränkenden Bedingung der Wurzel beim Quadrieren, zumindest teilweise, denn eigentlich müsste es ja $0\leq ...$ heißen.
Aber wieso diese Art der Berechnung die Erklärung der beiden Grenzwerte ist, verstehe ich nicht wirklich.
  ─   lefagnard 09.09.2021 um 10:45

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