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Nein, ein solches Produkt muss nicht immer konvergieren. Hier ein Gegenbeispiel:
Die Reihe \( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n+1}} \) ist konvergent (zum Beispiel nach dem Leibniz-Kriterium). Das "Produkt" der Reihe mit sich selbst ergibt aber die harmonische Reihe, konvergiert also nicht.
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Seien \( \sum_{n=0}^\infty \vert a_n \vert \) und \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) konvergent. Dann bilden die \( b_n \) eine Nullfolge und somit gibt es ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( \vert b_n \vert < 1 \) für alle \( n \ge N \) ist. Hieraus erhalten wir für \(k \ge N\) die Abschätzung \( \sum_{n=0}^k \vert a_n b_n \vert \) \( = c + \sum_{n=N}^k \vert a_n b_n \vert \) \( < c + \sum_{n=N}^k \vert a_n \vert \) \( \le c + \sum_{n=0}^\infty \vert a_n \vert \) für \( c = \sum_{n=0}^{N-1} \vert a_n b_n \vert \). Die Folge der Partialsummen \( \sum_{n=0}^k \vert a_n b_n \vert \) ist also nach oben beschränkt und trivialerweise monoton steigend, also muss die Reihe \( \sum_{n=0}^\infty \vert a_n b_n \vert \) konvergieren. ─ 42 06.12.2020 um 18:01